Exercice carré parfait

[Moubtakir]

Si n+1 est la somme de deux carre parfait montrer que 14n+14 et la somme de trois carre parfait aider moi svp j ai tous essaye

[GaBuZoMeu]

Cest faux : prendre n =1.
2 est la somme de deux carrés parfaits, mais 28 n'est pas somme de trois carrés.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

On a : 14 = 9 + 4 + 1 = 3² + 2² + 1² .

Si n + 1 est un carré parfait , alors il existe u € IN* tel que n + 1 = a² ;

alors : 14n + 14 = 14(n + 1) = (3² + 2² + 1²)a² = 3²a² + 2²a² + 1²a² = (3a)² + (2a)² + a² .

[GaBuZoMeu]

Il faut lire l'énoncé, aymanamaysae !
L'hypothèse n'est pas "n+1 est un carré parfait", mais "n+1 est la somme de deux carrés parfaits"

Une variante de l'énoncé, qui elle est correcte : si n+1 est la somme de deux carrés parfaits, alors 13n+13 est la somme de deux carrés parfaits.

Bon, Moubtakir, vérifie ton énoncé !

[aymanemaysae]

Bonjour ;


Tu as raison : c'est la faute au "déjà vu" et bien sûr à mon inattention .

Merci .

[lyceen95]

Une variante de l'énoncé , qui elle, est correcte : si n+1 est la somme de deux carrés parfaits, alors 13n+13 est la somme de (deux) trois carrés parfaits.

Je recopie en corrigeant la faute de frappe, je fais confiance, je n'ai pas la preuve.

[aymanemaysae]

reBonjour ;


Non , l'énoncé de GabuZoMeu est juste .

Si n + 1 est la somme de deux carrés , alors il existe deux nombres réels a et b tels que n + 1 = a² + b² ;
alors on a : 13n + 13 = 13(n + 1) = (3² + 2²)(a² + b²) = 3²a² + 3²b² + 2²a² + 2²b²
= (3a)² + (3b)² + (2a)² + (2b)² = (3a)² + (2b)² + 2(3a)(2b) + (2a)² + (3b)² - 2(2a)(3b)
= (3a + 2b)² + (2a - 3b)² .

[GaBuZoMeu]

Le calcul ne tombe pas du ciel. Un produit de somme de deux carrés est une somme de deux carrés : la formule vient quand on se souvient que le carré du module d'un produit de nombres complexes est le produit des carrés des modules.
, donc

Lyceen95, tu devrais faire plus attention.