Bonjour ! :salut:
Quelle est la façon la plus simple de caractériser un carré parfait ?
exemple:
9997 est il un carré ?
65536 est il un carré ?
NB: Si vous êtes tenté de répondre "en calculant sa racine", je vous réponds à l'avance que la racine nécessite des multiplications, des divisions, des soustractions ... localement peu couteuses mais qui, au global, donne une méthode lourde et peu efficace.
:briques:
Caractériser un carré parfait
20 messages
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par BancH » 11 Avr 2007, 15:30
9997 est il un carré ?
De plus un carré ne se termine pas par
65536 est il un carré ?
Par contre je ne connais pas de méthode générale.
par tbotw69 » 11 Avr 2007, 15:40
En prenant sa décomposition en facteurs premier :
un carré parfait est un nombre dont tous les exposants sur les facteurs premiers sont pairs, c'est à dire
Par contre, je ne sais pas si c'est une condition suffisante (mais en tout cas, elle est necessaire, ça c'est certains)
un carré parfait est un nombre dont tous les exposants sur les facteurs premiers sont pairs, c'est à dire
Par contre, je ne sais pas si c'est une condition suffisante (mais en tout cas, elle est necessaire, ça c'est certains)
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 15:45
Mouai. cela sous entend que tu aies une table des carrés connus ... possible mais très vite dépassé.BancH a écrit:est trop proche de
pour être un carré.
ahhhhhhhhh.BancH a écrit:De plus un carré ne se termine pas par
Tu m'ouvres des horizons. merci
C'est vrai: un carré ne peut se finir que par 0,1,4,5,6,9
donc on exclut 2,3,7,8
Y aurait il une base où le phénomène serait encore plus flagrant ?
Euh ... ça m'intereesse mais je comprends pas ce que tu en déduis.[quote="BancH"]BancH a écrit:
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 15:47
Ok. mais si je prends un nombre quelconque, je n'ai pas envie de parcourrir les entiers de 0 à racine du nombretbotw69 a écrit:En prenant sa décomposition en facteurs premier :
un carré parfait est un nombre dont tous les exposants sur les facteurs premiers sont pairs, c'est à dire
Par contre, je ne sais pas si c'est une condition suffisante (mais en tout cas, elle est necessaire, ça c'est certains)
par BancH » 11 Avr 2007, 16:00
Au lieu de chercher 
depuis 
Tu cherches depuis 
avec 
le plus proche de possible.
est-il carré parfait?
Je cherche un carré proche de : 
Si est un carré, il s'écrit ^2)
avec a petit.
, solution évidente.
^2=37^2)
Tu cherches
Je cherche un carré proche de
Si
par BancH » 11 Avr 2007, 16:09
Au lieu de chercher depuis
Tu cherches depuis avec le plus proche de possible.
est-il carré parfait?
Je cherche un carré proche de :
Si est un carré, il s'écrit avec a petit.
, solution évidente.
Tu cherches
Je cherche un carré proche de
Si
par tbotw69 » 11 Avr 2007, 16:14
On peut aussi tous les apprendre par coeur, comme ça, c'est instantanné :zen:
:ptdr:
:ptdr:
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 16:18
On peut pas les apprendre par cur ... yen a une infinité.
Cela dit Banch, tu tombes sur un sous-problème équivalent à ton problème.
"reculer pour mieux sauter" marche si tu n'as pas besoin de reculer beaucoup
Cela dit Banch, tu tombes sur un sous-problème équivalent à ton problème.
"reculer pour mieux sauter" marche si tu n'as pas besoin de reculer beaucoup
par tbotw69 » 11 Avr 2007, 20:21
Avec une méthode vraiment facile, non. Ensuite, on peut "s'amuser" à faire l'étude au cas par cas, en fonction des chiffres qui finissent le nombre en question (cf bancH) mais ça fait vraiment de multiples cas si on détaille de trop ...
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 20:31
tbotw69 a écrit:Avec une méthode vraiment facile, non. Ensuite, on peut "s'amuser" à faire l'étude au cas par cas, en fonction des chiffres qui finissent le nombre en question (cf bancH) mais ça fait vraiment de multiples cas si on détaille de trop ...
Oui car passer le stade de l'unité, c terminé. On peut plus rien déduire.
(fourbement) j'avais pensé à l'avance a des formules comme :
Mais je ne suis pas encore pleinement satisfait
par tbotw69 » 11 Avr 2007, 20:39
La, j'avoue que je ne comprends pas pourquoi tu sors une formule comme ça : elle existe vraiment ou pas ? (si c'est le cas, elle est plutot pas mal)
Mais ça n'aide pas trop pour trouver si un nombre est un carré parfait ou non !!
Mais ça n'aide pas trop pour trouver si un nombre est un carré parfait ou non !!
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 22:55
Tu veux la démonstration ?
= \sum_{i=0}^{a-1}2i+\sum_{i=0}^{a-1}1= 2\sum_{i=0}^{a-1}i+a= 2(\frac{a(a-1)}{2})+a= a^2)
Je prends des sauts impairs croissants....
Si j'arrive a sauter directement dessus, c gagné. Sinon, ce n'est pas un carré.
Je prends des sauts impairs croissants....
Si j'arrive a sauter directement dessus, c gagné. Sinon, ce n'est pas un carré.
nombre pair de diviseurs
par emdro » 11 Avr 2007, 23:02
Un nombre est un carré si, et seulement si, son nombre de diviseurs est impair. Mais je crois que cela complique le problème!!
D'autre part, il est clair que si les exposants dans la décomposition en facteurs premiers sont pairs, le nombre est un carré.
D'autre part, il est clair que si les exposants dans la décomposition en facteurs premiers sont pairs, le nombre est un carré.
par Flodelarab » 11 Avr 2007, 23:25
emdro a écrit:Un nombre est un carré si, et seulement si, son nombre de diviseurs est impair. Mais je crois que cela complique le problème!!
Merci de cette participation.
Malheureusement, connaitre le nombres de diviseurs tient du miracle.
par BancH » 12 Avr 2007, 01:11
tbotw69 a écrit:La, j'avoue que je ne comprends pas pourquoi tu sors une formule comme ça : elle existe vraiment ou pas ? (si c'est le cas, elle est plutot pas mal)
par Flodelarab » 12 Avr 2007, 11:03
pas mal non plus 
Autre piste: Seuls les nombres impairs sont un problème
En effet, si on a un nombre pair, alors il est multiple de 4.
En décimal, les 2 derniers chiffres sont un multiple de 4.
En binaire, les 2 derniers chiffres sont 2 zéros.
Donc on divise par 4, et on se ramène au carré d'un nombre impair.
ex: 65536 ..... 1 : on a bien un carré.
Carré d'un impair... cela signifie que la somme des impairs a un nombre impair de termes. En regroupant 2 à 2, on peut dire des choses comme:
a² congru à 2a-1 modulo 2a-2
OU a² congru à 1 modulo 2a+2
OU a² congru à (a-1)/2 modulo 2a (possible car a impair) 2a² congru à a-1 modulo 4a
Autre piste: Seuls les nombres impairs sont un problème
En effet, si on a un nombre pair, alors il est multiple de 4.
En décimal, les 2 derniers chiffres sont un multiple de 4.
En binaire, les 2 derniers chiffres sont 2 zéros.
Donc on divise par 4, et on se ramène au carré d'un nombre impair.
ex: 65536 ..... 1 : on a bien un carré.
Carré d'un impair... cela signifie que la somme des impairs a un nombre impair de termes. En regroupant 2 à 2, on peut dire des choses comme:
a² congru à 2a-1 modulo 2a-2
OU a² congru à 1 modulo 2a+2
OU a² congru à (a-1)/2 modulo 2a (possible car a impair) 2a² congru à a-1 modulo 4a
par Flodelarab » 25 Avr 2007, 09:35
J'ai trouvé autre chose:
Tout carré s'écrit 100 dans la base de sa racine.
Tout carré de nombre impaire s'écrit 441 (dans une base bien choisie)
pkoi ?
Car (2n+1)²=4n²+4n+1 ... ce qui est l'écriture d'un carré en base n
Concrètement, pour qu'un nombre soit un carré, en binaire, il doit se finir par un nombre pair de 0 et le premier couple qui n'est pas 00 doit être 01 pour que le nombre soit un carré.
En décimal, les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4. Après division(s) successive(s) par 4, le premier nombre non multiple de 4 doit précéder un multiple de 4.
J'ajoute que le résidu n'est pas anodin. C'est la multiplication d'un nombre par son suivant.
exemple:
591361=1+4*147840=1+4*384*385
Tout carré s'écrit 100 dans la base de sa racine.
Tout carré de nombre impaire s'écrit 441 (dans une base bien choisie)
pkoi ?
Car (2n+1)²=4n²+4n+1 ... ce qui est l'écriture d'un carré en base n
Concrètement, pour qu'un nombre soit un carré, en binaire, il doit se finir par un nombre pair de 0 et le premier couple qui n'est pas 00 doit être 01 pour que le nombre soit un carré.
En décimal, les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4. Après division(s) successive(s) par 4, le premier nombre non multiple de 4 doit précéder un multiple de 4.
J'ajoute que le résidu n'est pas anodin. C'est la multiplication d'un nombre par son suivant.
exemple:
591361=1+4*147840=1+4*384*385
par Flodelarab » 25 Avr 2007, 09:37
J'ai trouvé autre chose:
Tout carré s'écrit 100 dans la base de sa racine.
Tout carré de nombre impaire s'écrit 441 (dans une base bien choisie)
pkoi ?
Car (2n+1)²=4n²+4n+1 ... ce qui est l'écriture d'un carré en base n
Concrètement, pour qu'un nombre soit un carré, en binaire, il doit se finir par un nombre pair de 0 et le premier couple qui n'est pas 00 doit être 01 pour que le nombre soit un carré.
En décimal, les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4. Après division(s) successive(s) par 4, le premier nombre non multiple de 4 doit précéder un multiple de 4.
J'ajoute que le résidu n'est pas anodin. C'est la multiplication d'un nombre par son suivant.
exemple:
591361=1+4*147840=1+4*384*385
Tout carré s'écrit 100 dans la base de sa racine.
Tout carré de nombre impaire s'écrit 441 (dans une base bien choisie)
pkoi ?
Car (2n+1)²=4n²+4n+1 ... ce qui est l'écriture d'un carré en base n
Concrètement, pour qu'un nombre soit un carré, en binaire, il doit se finir par un nombre pair de 0 et le premier couple qui n'est pas 00 doit être 01 pour que le nombre soit un carré.
En décimal, les 2 derniers chiffres forment un multiple de 4. Après division(s) successive(s) par 4, le premier nombre non multiple de 4 doit précéder un multiple de 4.
J'ajoute que le résidu n'est pas anodin. C'est la multiplication d'un nombre par son suivant.
exemple:
591361=1+4*147840=1+4*384*385
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