[1S] Carré parfait

[benekire2]

Bonjour à tous, je propose aujourd'hui un petit problème que j'ai trouvé dans un bouquin à l'intention de première S :

Soit n un entier naturel. On dit que n est un carré parfait lorsque il existe un entier naturel k tel que n=k².

Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de 1 est un carré parfait.

Bon travail ! :happy3:

PS: J'ai étiqueté cela [1S] mais en fait c'est plus niveau collège ( pour les conaissances ) sauf qu'il faut savoir faire une identification de polynômes c'est tout. Donc des bons élèves de troisième ( je pense fort à Lostounet ... ) peuvent bien sûr jouer !!

[beagle]

je confirme, niveau collège,
mais c'est quoi une identification de polynome?

[benekire2]

Bah que si tes deux polynômes sont égaux alors leurs coefficients le sont, par exemple aX+b=a'X+b' => a=a' et b=b' .

[beagle]

OK, alors on peut s'en passer,
ou faire comme Mr Jourdain, sans le savoir

[benekire2]

On peut surement s'en passer, c'est juste la preuve qui l'utilise :zen:
Cela dit en modifiant la preuve j'ai sans utiliser l'identification des polynômes , mais bon , sachant que les polynômes sont pas correctement définis et que j'utilise l'égalité des deux polynômes .. j'ai bien peur que ce soit le serpent qui se morde la queue ...

[beagle]

On peut surement s'en passer, c'est juste la preuve qui l'utilise :zen:

non, c'est ta preuve à toi qui l'utilise,
k s'exprime sous forme d'expression de n sans ce truc ...

[benekire2]

non, c'est ta preuve à toi qui l'utilise,

oui évidemment, je sais pas pourquoi j'ai dit n'importe quoi en écrivant ...

Si j'ai le temps ce soir j'en balance un plus méchant

[beagle]

Si j'ai le temps ce soir j'en balance un plus méchant

ah non, pour une fois que j'arrive à faire un exo,
je prendrai pas le risque d'essayer l'autre ce soir,
j'ai une image de moi à construire, pas à démolir

[benekire2]

ah non, pour une fois que j'arrive à faire un exo,
je prendrai pas le risque d'essayer l'autre ce soir,
j'ai une image de moi à construire, pas à démolir

:ptdr: Alors je le poste à la condition que un lycéen s'intéresse à ce problème

[Dinozzo13]

Yeah, j'ai eu cette exercice en 2nde ^^, mais posé différement.
Je pense d'ailleurs l'avoir posé en début d'année.

[Dinozzo13]

Soit tel que
Si je ne m'abuse, je trouve :

[Lostounet]

Euh euh euh.... Une méthode bizarre et illogique (j'ai trop essayé avec les polynômes..) :triste:

Le produit de quatre facteurs..
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
En les regroupant..
(n + 1)(n + 4) * (n + 2)(n + 3)
(n² + 5n + 4) * (n² + 5n + 6) + 1

Ce que je sais, c'est que

(n² + 5n + 4) * (n² + 5n + 6) est divisible par 24..!

Donc (n² + 5n + 4) * (n² + 5n + 6)... Fin :cut:

[Lostounet]

Soit tel que
Si je ne m'abuse, je trouve :

Salut, Dino

Comment fais-tu?
Des pistes?

[Dinozzo13]

Salut !
Tiens si tu veux je peux te guider d'après mon DS que j'ai eu en 2nde ^^

Considère qu'il faut démontrer que N=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carré parfait.
1°) Montre que : (n+1)(n+2)=n(n+3)+2
2°) On pose : x=n(n+3). Exprime N en fonction de x seulement et déduis-en que N est un carré parfait.
3°) Question en plus qui était posée ^^ :
Déduire de la question précédente de quel nombre : N=2000x2001x2002x2003+1 est le carré parfait.

P.S.: Parce que j'ai la flemme de faire autrement :ptdr:

[Ben314]

Il me semble que l'idé de Lostounet est celle qui conduit à la preuve la plus courte :


où

[Anonyme]

Soit a,b,c,d des entiers consécutifs dans cet ordre. Soit en posant n=a

se réécrit:









Tu arriverais au même résultat en développant n(n+1)(n+2)(n+3) mais je pense que c'est un peu plus long.

[benekire2]

Pour ma part la première preuve en réserve c'était de tout développer tel le bourrin !! Puis, en regardant la tronche du polynôme P(X) de degré 4 dont les coefficients extrèmes sont 1 et 1 de trouver m tel que P(x)=(x²+mx+-1)² et d'identifier.

Cela dit la deuxième méthode et d'écrire ;

x(x+1)(x+2)(x+3)+1 On remarque que (x+1)(x+2)=x(x+3)+2 et que donc en posant A=(n+1)(n+2) on a :

x(x+1)(x+2)(x+3)+1= A(A-2)+1=A²-2A+1=(A-1)²


ca resemble a celle de ben et lostounet ,

[Lostounet]

Salut !
Tiens si tu veux je peux te guider d'après mon DS que j'ai eu en 2nde ^^

Considère qu'il faut démontrer que N=n(n+1)(n+2)(n+3)+1 est un carré parfait.
1°) Montre que : (n+1)(n+2)=n(n+3)+2
2°) On pose : x=n(n+3). Exprime N en fonction de x seulement et déduis-en que N est un carré parfait.
3°) Question en plus qui était posée ^^ :
Déduire de la question précédente de quel nombre : N=2000x2001x2002x2003+1 est le carré parfait.

P.S.: Parce que j'ai la flemme de faire autrement :ptdr:

Merci!

C'est très clair comme ça..! :id:

Au fait Bene, ton topic dans Collège.. ne l'oublie pas :we: (Celui sur les constructions..!).

Edit: Oui, c'est aussi la méthode du DS de Dino..?
Je vais essayer de comprendre celle de Qmath.

[beagle]

j'ai fait comme Lost,
sauf que j'ai mis les 4 facteurs égaux à kcarré -1
soit (k+1)(k-1)
pis après je me suis dit je prends le plus petit avec le plus grand pour regrouper fois les deux milieux
et cela s'écrit sans peine:
(........+1)(.........-1)

j'avais mis n, n+1, n+2,n+3
et aussi n-2, n-1,n,n+1
dès fois que
mais cela n'apportait rien de plus
les deux donnaient k fastoche.

[benekire2]

on comme promis la "suite" , désolé beagle , mais je pense que tu vas y arriver sans soucis :id:

Ici pas de connaissances particulières non plus, et c'est - encore - de l'arithmétique :

Soit n un entier. L'entier 3n²+3n+7 peut-il être le cube cube ?