Calcul de coefficients d'un barycentre

[ChtiLu]

Bonjour, j'ai un DM pour lundi et j'ai un problème avec une des questions. Pouvez-vous m'aider ?

On a les points A(2;4) ; C(6;0) ; Le milieu B' de [AC] de coordonnées B'(4;2) ; Le milieu K de [OB'] de coordonnées K(2;1).

3\ Soit I(2;0). Déterminer des réels a et b tels que K soit le barycentre de {(A,a);(I;b)}

Voilà, c'est juste pour cette question que je n'arrive pas à faire. Merci d'avance.

[annick]

Bonjour,
tu calcules les coordonnées de vecteurs KA et KI
Tu appliques la formule vectorielle de base du barycentre.
Tu finiras par trouver une relation simple entre a et b.

[ChtiLu]

D'accord merci, mais c'est quoi la formule vectorielle de base du barycentre ?

[annick]

Si tu as K le barycentre de {(A,a);(I;b)} alors

aKA+bKI=0 KA et KI étant des vecteurs, ainsi que 0

[ChtiLu]

donc aprés je remplace KA et KI par leurs coordonnées ? Donc une fois avec x et une fois avec y ?

[ChtiLu]

svp aidez moi

[Ericovitchi]

oui c'est ça, tu écris aKA+bKI=0 pour chaque coordonnée après avoir trouvé les coordonnées de KA et KI
(tu trouveras a et b à un coef de proportionnalité près, évidemment)

[ChtiLu]

mais après ça, pour le coefficient c'est x\y ou autre chose ?

[Ericovitchi]

I(2;0) A(2;4) K(2;1) donc KA(0,3) et KI(0,-1)

aKA+bKI=0

la première donne 0=0 sans intérêt (ou disons toujours vraie quelque soit a et b) et l'autre 3a-b=0 ça veut dire que a et b peuvent être fixés à un coef près. ou bien que l'on peut en fixer un et en déduire l'autre.
par exemple a=1, b=3 mais a=2, b=6 marchent aussi. En fait ça veut dire que si on multiplie les poids par un même nombre, on ne change pas le barycentre. c'est pour ça que l'énoncé dit "Déterminer des réels a et b" c'est parce qu'ils en sont pas uniques.

[ChtiLu]

Ah, d'accord merci beaucoup. Donc K barycentre de {(A;1);(I;3)} ?

[ChtiLu]

C'est pas plutôt l'inverse ? a=3 et b=1 ?

[Ericovitchi]

Donc K barycentre de {(A;1);(I;3)} oui,
pourquoi voudrais-tu que ça soit l'inverse ? c'est bien 3a-b=0 que l'on a donc pour a=1, b=3

[ChtiLu]

J'ai dit ça car on a 3a et pas 3b, et ensuite quand on change de côté on a 1b

[Ericovitchi]

je ne comprends pas

[ChtiLu]

Ben on a 3a - b = 0 , ça donne 3a = b. Donc on a bien 3a et 1b non ? Donc pourquoi ce n'est pas K barycentre de {(A;3);(I;1)} ?

[Ericovitchi]

3a=b. OK
Si j'en fixe un arbitrairement donc par exemple b=3 alors je trouve a=1 et comme par définition on cherchait K le barycentre de {(A,a);(I;b)} on a donc bien trouvé K le barycentre de {(A,1);(I;3)}

Si tu fais a=3 alors b=9 et tu peux dire aussi "K le barycentre de {(A,3);(I;9)}"

mais tu ne peux pas dire "K le barycentre de {(A,3);(I;1)}"

[ChtiLu]

D'accord j'ai compris merci beaucoup pour votre aide ! :)