PB arithmétique

[mito94]

bonsoir , j'ai un petit pb en arithmetique sur un dm si vous pouviez m'aider voici lenoncer :

n designe un eniter naturel
a) expliquer pourquoi 2^4 est congru a 1 modulo 5. [fait]
b) en deduire que pour tous entier naturels k et r, 2^(4k+r) est congru a 2^r modulo 5. [fait]
c) quels sont alors les restes possibles dans la division euclidienne de 2^n par 5 ?
d) demontr que pour tout entier naturel p superieur ou egal a 1, 17^(4p+2) + 32^(4p+3) + 3 est divisible par 5.

c) et d) me pose un pb je n'y arrive pas

[dudumath]

tout entier naturel s'écrit sous la forme

4k ou 4k+1 ou 4k+2 ou 4k+3

donc tu as 4 restes possibles:

2^0=1
2^1=1
2^2=4
2^3=3[5]

d) 17 = 2 [5] et 32=2[5]
donc 17^(4p+2) + 32^(4p+3) + 3=2^(4p+2)+2^(4p+3) +3[5]

d'après la question précédente, =2^2+2^3=12=2+8+3=15=0[5]

Voila tout!

[Dinozzo13]

Salut !
c. Effectue pour , , , ...,
d. ;
Montrer que est divisible par 5, c'est montrer que
tu pars de puis tout est une histoire de puissances, idem pour 32, puis à partir de cela tu formule les mêmes puissances que dans l'énoncé.

[mito94]

oui oui merci bcp que marrive til en se moment §

[dudumath]

les congruences, c'est une notion difficile à comprendre au début, mais une fois que t'as chopé le truc, ca va tout seul!

[Dinozzo13]

Je suis entièrement d'accord ; pendant que j'y suis, bon anniversaire ^^

[benekire2]

Et oui, conseil méthode, raisoner par congruences, c'est souvent plus facile !!

[dudumath]

merci Dinoééo13, joli timing d'ailleurs :D

[Dinozzo13]

merci Dinoééo13, joli timing d'ailleurs

lol merci ^^