Arithmétique, Math Spé de Terminale : "Que de un !"

[constantinowitch]

Bonjour, je vous soumet ce problème, que je dois rendre pour Vendredi 21 Septembre car tous ce week-end j'ai cherché la solution sans grand succès de compréhension malgré quelque trouvaille sur internet. :mur:

Tout d’abord voici l’énoncé de cet exercice de math spé terminale section arithmétique et divisibilité dans Z :

«Que de un»

On se propose de montrer qu’il existe une infinité de nombres entiers naturels qui vérifient une certaine propriété.

1°) Vérifier que 111 est divisble par 3
Je ne me ferais pas l’insulte de demander de l’aide pour ça.

2°) n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
u(n) est le nomre dont l'écriture décimale est constituée uniquement de 1
u(n)=111.....1111********(n chiffres 1)

;)a) Démontrer que (10^(n)-1)/9 est un nombre entier naturel.
Rien à faire j’ai beau me casser la tête je ne vois pas comment résoudre ça, si s’agit d’une récurence (j’ai essayé) comment la trouver ? :hum:
Devant l’impossibilité de trouver seule j’ai cherché sur des forums et je suis tombé sur :

«;)10^(n) # 1 mod (9)************** # veut dire congru
Quand on soustrait 1 à 10^(n), le reste devient 0
Donc 10^(n)-1 # 0 mod (9)
Alors u(n)= (10^(n)-1/9)»
(http://www.ilemaths.net/forum-sujet-97429.html)

Malheuresement je n’ai pas encore fait le cours sur le modulo, j’ai potassé le cours du livre mais bien que j’ai compris le principe je ne comprends pas l’application ici. :doh:

;)b) Vérifier que pour tous réels a et b : a^(3)-b^(3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)
Facile, il suffit de développer et on retrouve ce qui précède.

c);)Démontrer que 10^(3n)-1 est divisible par 10^(n)-1

«10^(3n)-1 = [(10^(n)]^3-1
= [ 10^(n)-1] [(10^(n))^2+10^(n)+1^(2)]
(10^(n))^2+10^(n)+1 appartient à N
Dc 10^(n)-1 divise 10^(3n)-1»

Encore une fois résultat trouvé sur le lien cité ci-dessus mais je ne comprends pas les deux dernière ligne. :mur:

d)En déduire que l'entier naturel u(3n) est divisible par l'entier naturel u(n)
U(n)= (10^(n)-1)/9
U(3n) = (10^(3n)-1)/9

or 10^(3n)-1 est divisible par 10^(n)-1 donc 10^(3n)-1 =k*(10^(n)-1)
U(3n) = (10^(3n)-1)/9 = k*(10^(n)-1)/9 = k*U(n)

Encore une fois résultat trouvé sur le lien cité ci-dessus mais cette fois-ci je ne comprends pas pourquoi U(n)= (10^(n)-1)/9. Esque c’était le but de la question 1a) de nous faire trouver ça ?

Et enfin les trois dernière question sur lequel je bloque totalement (et le forum cité aussi :lol3: )

e)Démontrer que 10^(n+1) + 10^n + 1 est divisible par 3

f) Démontrer que U(3n) est divisible par 3U(n)
Là je suppose qu’une récurence suffirat une fois les question ci-dessus résolue

;)3) Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n

Encore une fois mystère. :doh:

De plus, comme vous l’avez compris, je suis incapable de comprendre le fonctionnement de la méthode pour résoudre des questions de type : «Démontrer que 10^(n+1) + 10^n + 1 est divisible par 3»

Si quelqu’un à un topo simple à me faire ou à me passer pour que je puisse refaire l’exercice seul en controle.

Egalement mon niveau en math étant un peu juste, pourriez vous détailler et bien expliquer ? :triste:

Merci infiniment de votre compréhension, de votre attention, de votre réponse si il y a et de votre diligence car ces exos sont pour Vendredi 21. :++:

[Luc]

Salut,

effectivement cet exercice est très délicat a faire sans les modulos... je trouve personnellement un peu stupide de demander de le faire sans les modulos puisqu'en fait on les utilise sans le dire mais bon passons.

pour le 2)a), remarque que 10^n-1=10^n-1^n=(10-1)(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10^{2}+10+1)
On peut le voir comme la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison 10 et de premier terme 1.

Pour c), que veux dire qu'un entier a est divisible par un entier b? cela répondra a ton incompréhension je pense.
Pour d), quelle est la définition de ? Écris la (avec des puissances de 10).

e) Tu es sur de l’énonce? A mon avis c'est plutôt multiple de 3, l’idée étant de pouvoir appliquer ce résultat avec la factorisation pour en déduire le résultat de la question f).
Sinon c'est typiquement le genre de questions qu'on peut traiter avec des modulos.

3) Il faut réfléchir un peu et voir en quoi ce qu'on a fait dans les questions précédentes a un rapport avec ce probleme

[busard_des_roseaux]

bonjour,

s'appelle un repunit (entier dont les chiffres sont des "1" répétés n fois)

on a
on en déduirait
ce qui n'est pas demandé dans l'exercice

l'exercice repose sur les deux identités


et
(1)
qui se démontre en posant

dans (1), que se passe-t-il quand n est divisible par p ?

pour la (e)

en arrangeant la somme,on arrive à montrer qu'elle est divisible par 3

pour la (f),

ensuite, utilise le fait que
et sont des cubes.

cordialement,

[wserdx]

Tu peux sûrement aborder ce problème sans beaucoup de connaissance préalable.
question 2.a
est un nombre dont l'écriture décimale est 1 suivi de 0.
Si je lui retranche 1, j’obtiens le nombre dont l'écriture décimale est 9 fois (principe de la retenue!) Ce dernier nombre est donc évidemment divisible par 9 et le quotient est évidemment u(n).
question 2.c
remplace par et par 1 dans la formule du 2.b
question 2.d
Il faut bien sûr utiliser 2.a
Attention à la difficulté: si a divise b et si 9 divise a et b, alors a/9 divise b/9
question 2.e
Il suffit de remarquer

question 2.f
Peut-être que la question 2.e propose de démontrer que
est divisible par 3 (ce qui se démontre aussi facilement), auquel cas il suffit d'utiliser la formule du 2.b
question 3
Que peux-tu dire de

[constantinowitch]

Bonjour, merci pour vos réponses si rapide. :we:
Je pense que je vais prendre la méthode de wserdx qui me parait la plus adapté au vu de mes compétences notamment pour la 1a)
Ce soir je refait tout ça et je recontacte si il ya encore des problème.
Luc : Oui effectivement c'est délicat sans les modulo mais peut-on m'expliquer le fonctionnement de ce modulo dans cette exercice ? Et la méthode ? Et quelqu'un peut-il me conseiiler un site sur lequels je trouverais de bon cours d'arithmétique ou mieux des cours de math spé ?
Merci ... et surement à ce soir. :lol3:

[Luc]

Luc : Oui effectivement c'est délicat sans les modulo mais peut-on m'expliquer le fonctionnement de ce modulo dans cette exercice ? C Et la méthode ?

Les modulo fonctionnent dans cet exercice comme on te l'a explique sur ilemaths. Pour comprendre ce qu'on t'a dit, il faut que tu apprennes un cours d’arithmétique.

Et quelqu'un peut-il me conseiiler un site sur lequels je trouverais de bon cours d'arithmétique ou mieux des cours de math spé ?

De spé maths, pas de maths spé :we: Du moins pas encore :lol3:
Un excellent cours d’arithmétique, dont tu peux profiter a partir de la terminale S mais qui est assez ambitieux, n’hésite pas a poser des questions sur le forum si tu ne comprends pas tout.
PS : Comme le document dépasse largement le programme de TS, je précise qu'il suffit de te limiter aux paragraphes 3.1 et 3.2, pages 37-38-39, qui expliquent très clairement ce que sont les congruences.


http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Cours/Arithmetique/arithm.pdf

[Kikoo <3 Bieber]

Un excellent cours d’arithmétique, dont tu peux profiter a partir de la terminale S mais qui est assez ambitieux, n’hésite pas a poser des questions sur le forum si tu ne comprends pas tout.

http://www.normalesup.org/~kortchem/olympiades/Cours/Arithmetique/arithm.pdf

"Ambitieux" O_o Euphémisme !

J'avais essayé de lire ce document l'année d'avant mais j'ai très vite décroché. Il faut quand même avouer que l'approche et les exos proposés sont d'une qualité... Les exos sont plus difficiles et intéressants que ce que l'on rencontre en TS.

[Luc]

"Ambitieux" O_o Euphémisme !

J'avais essayé de lire ce document l'année d'avant mais j'ai très vite décroché. Il faut quand même avouer que l'approche et les exos proposés sont d'une qualité... Les exos sont plus difficiles et intéressants que ce que l'on rencontre en TS.

Pour te faire une idée, ce document m'est très utile en ce moment pour préparer l'agrégation... Honnêtement ça va largement au niveau de l'agreg sur les chapitres d'arithmétique et de combinatoire.

[constantinowitch]

Ok merci pour ce petit cours Luc, je vais y jeter un coup d'oeil.
Tu avais également raison pour le 2e) c'était bien 1+10^n+10^(2n) qui doit être divisible par 3. :marteau:

Pour résoudre ça j'ai d'abord essayé une récurrence avec P(n) : << 10^(2n) + 10^n + 1 = 3K >>
Et P(3) : << 10;) + 10³ + 1 = 3 * 333667
// Je commence avec P(3) car dans l'énoncé il est écrit "n désigne un nombre entier naturel sup ou égale à 3"

Supp ...

10^(2n+2) + 10^(n+1) +1 = (10^n)² * 10 *10 +10 * 10^n + 1
Mais après ? Comment appliquer la formule du 2b) ? :mur:

Après on peut voir que c'est aussi égale à (10^n)² + (10^n)¹ + (10^n);)
Mais là encore ... :triste:

[Luc]

Pour montrer que est divisible par 3, pas besoin de récurrence!
La récurrence fonctionne mais c'est beaucoup plus compliqué.
En fait il suffit d'une astuce : écrire
Et là tu remarques que 10^n-1 est le nombre 99...99999 qui est divisible par 3 (c'est 3*33....33333), de même pour =99....999999 (avec un peu plus de chiffres).
Donc comme 3 est divisible par 3, et que la somme de nombre divisibles par 3 reste divisible par 3, tu peux conclure.

Avec les congruences, pas besoin d'astuce, tu dis que 10=9+1=1 (modulo 3) donc (modulo 3). Donc la somme fait 1+1+1 =0 (modulo 3).

La formule du 2)b) a en fait déjà été utilisée, c'est justement elle qui a amené à considérer