Arithmétique

[eva]

Bonjour ce problème me pose quelques soucis :

Déterminer tous les triplets d'entiers naturels (x;y;z) qui vérifient
x < (ou égal) y < (ou égal) z et (1/x) + (1/y) + (1/z) appartient à l'ensemble N.

On pourra commencer par démontrer que x appartient à (1,2,3) puis étudier les trois cas possibles.

merci pour toute aide

[Galt]

Bonsoir
Commençons donc par prouver que x apparteint à l'ensemble {1 : 2 ; 3}
Si ce n'était pas le cas, on aurait , donc . Comme , on peut en conclure que et sont ..., donc la somme ne peut pas ...
Etudiona maintenant les différents cas :
Si x=1, on veut que soit un entier. De nouveau, on doit avoir car sinon ...On obtient donc deux solutions
Si x=2
Si x=3
Conclusion : les solutions sont
(1,1,1), (1,2,2), (2,3,6), (2,4,4) (3,3,3) et c'est tout

[eva]

Voilà comment je procède pour démontrer que x appartient à (1,2,3)

On a : 0 < x < (ou égal) y < (ou égal) z

donc (1/z) < (ou égal) (1/y) < (ou égal) (1/x)
donc : (1/x) + (1/y) + (1/z) < (ou égal) 3/x

Si x > 3 alors 3/x est inférieur à 1, d'où (1/x)+(1/y)+(1/z) < 1, impossible, donc x < (ou égal) 3

x = 1 implique 1 + (1/y) + (1/z) entier < (ou égal) 3

x = 2 implique (1/2) + (1/y) + (1/z) entier naturel < (ou égal) 3/2

x = 3 implique (1/3) + (1/y) + (1/z) entier naturel < (ou égal) 1

est-ce correct?
c'est ensuite que je ne vois pas comment trouver les y? juste en essayant?

[Galt]

La preuve pour est OK
Ensuite, on peut recommencer en montrant que les y ne peuvent pas être trop grands, puis essayer
Si x = 1 et que y=3 (ou plus), alors ne peut pas être entier
Même genre d'étude si x = 2 ou x=3

[eva]

par exemple, pour le cas x=2 on trouve (1/y) +(1/z) < (ou égal) 1
donc les y peuvent être grands, ce sera toujours inférieurs à 1...

[Galt]

Non, car on veut que le résultat soit entier, or si y et z dépassent 4, sera inférieur à , donc avec le de x, ça ne pourra plus faire un entier
Courage, l'arithmétique, c'est un peu difficile au début, car les nombres entiers sont assez rigides, on ne peut pas faire n'importe quoi avec. Il faut se familiariser avec les différents raisonnements, après ça va mieux