Arithmetique

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 15:59

Bonjour, j ai un petit probleme avec un exercice d arithmetique :

Soit Un=1+3+3²+...+3exposant(n-1)= Somme avec en haut (n-1) avec i=0 en bas de 3 exposant i où n appartient à N superieur ou égal à 2.

Il faut montrer que si Un est divisible par 7, alors 3 exposant (n-1) est divisible par 7 ainsi que si 3 exposant (n-1) est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.

Je vois pas du tout ! Cet exo est pour jeudi en plus ...

merci d'avance !

par **annick** » 02 Oct 2007, 16:13

Bonsoir,
Je pense qu'il faut que tu partes du fait que Un est la somme des (n-1) premiers termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison q=3

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 16:51

Ok je vais essayer merci !

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 17:32

Je galère je ne vois pas quel est le lien avec une suite geo ???

par **J-R** » 02 Oct 2007, 17:34

Bonsoir,

SG. de raison 3 et de premier terme 1 !!!

donc ....

a+

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 17:51

Donc : Un = (-1+3 exposant n)/2 = (3 exposant n - 1)/2 ?

Mais je vois pas comment montrer que si 3 exposant (n-1) est divisible par 7 alors Un est divisible par 7 ?

Je vous remercie d'avance

par **J-R** » 02 Oct 2007, 18:06

benh on a :

or comme

=>

mais ca me parait vraiment balo comme exo donc je en garantie pas l'exactitute de la réponnse....

l'autre implication meme rasionnement....

le problème c'est :

ou

j'ai du mal à m'y retrouver .....

a+

a confrimer

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 18:09

Ok je vous remercie en tout cas !
Ce sujet provient du bac 2000 dont j'ai le sujet ici : http://www.maths-express.net/bac-s/2000/PondicheryS2000.pdf

Il s'agit bien de (3 exposant n)-1 ?!

par **lapras** » 02 Oct 2007, 18:10

Ca doit etre 3^n - 1 et non 3^(n-1)

si 7 divise 3^(n) - 1
alors 7 divise 2Un
lemme de Gauss :
7 divise Un

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 18:14

Tout à fait vous avez raison car d'apres le sujet officiel, c'est bien (3exposantn)-1 !

Je vous remercie pour votre aide !

par **Pi87** » 02 Oct 2007, 18:31

Et comment deduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7 ? Merci d'avance

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