Arithmétique

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai du mal à résoudre le problème suivant:

Trouver un entier n tel que:
- n soit un carré parfait
- le nombre formé par ses trois derniers chiffres est exactement 1 plus grand que le nombre formé par ses trois premiers (ex: 123124)

J'ai trouvé qu'on peut écrire n sous la forme 1001x+1. On cherche alors x tel qu'il existe un entier k tel que 1001x-1=k^2 ou encore 13*11*7*x=(k-1)(k+1).
Et à partir de là j'ai rien trouvé d'autre que fait par tâtonnements avec la calculatrice, j'ai fini par trouvé x=183 mais c'est issu des olympiades britanniques et il n'y pas droit à la calculatrice... Comment faire sans ? Il doit avoir une méthode pour diminuer le nombre de possibilités à tester

[Ben314]

Salut,
C'est (à mon avis) la bonne méthode.
Arrivé à 13.11.7.x=(k-1)(k+1) je pense que la suite, ça consiste à dire que chacun des nombres (premiers) 7, 11 et 13 doivent diviser soit k-1, soit k+1 et de traiter différents "cas".

Par exemple, si 13 divise et 77=11.7 divise (où ) alors donc
Par l'algo. d'Euclide étendu, on trouve rapidement 1=6x13-77 donc soit encore et, comme 13 est premier avec 77, il divise ce qui signifie que .
La plus petite solution possible pour b est avec c=0 et donc qui donne
On pourrait aussi prendre b=11 avec c=1 et d'où qui donne . On doit même pouvoir prendre b=15... (il faut quand même que k n'ait que 3 chiffres...)

Et je te laisse trouver les solutions dans le cas où, par exemple, 11 divise et 91=13.7 divise puis dans le 3em cas où 7 divise et 143=13.11 divise

[chan79]

Bonjour,
J'ai du mal à résoudre le problème suivant:

Trouver un entier n tel que:
- n soit un carré parfait
- le nombre formé par ses trois derniers chiffres est exactement 1 plus grand que le nombre formé par ses trois premiers (ex: 123124)

salut
Accepte-t-on les nombres qui ont plus de 6 chiffres ?
4800481=2191²

[t.itou29]

salut
Accepte-t-on les nombres qui ont plus de 6 chiffres ?
4800481=2191²

Non, on accepte que les nombres à 6 chiffres.

[t.itou29]

Salut,
C'est (à mon avis) la bonne méthode.
Arrivé à 13.11.7.x=(k-1)(k+1) je pense que la suite, ça consiste à dire que chacun des nombres (premiers) 7, 11 et 13 doivent diviser soit k-1, soit k+1 et de traiter différents "cas".

Par exemple, si 13 divise et 77=11.7 divise (où ) alors donc
Par l'algo. d'Euclide étendu, on trouve rapidement 1=6x13-77 donc soit encore et, comme 13 est premier avec 77, il divise ce qui signifie que .
La plus petite solution possible pour b est avec c=0 et donc qui donne
On pourrait aussi prendre b=11 avec c=1 et d'où qui donne . On doit même pouvoir prendre b=15... (il faut quand même que k n'ait que 3 chiffres...)

Et je te laisse trouver les solutions dans le cas où, par exemple, 11 divise et 91=13.7 divise puis dans le 3em cas où 7 divise et 143=13.11 divise

Merci, je vais chercher pour les autres cas mais de toute façon on ne demandait de trouver qu'en entier en expliquant la méthode employé.