[TS] Arithmétique

[manoa]

Bonsoir,

Il y a des questions qui me bloquent sur cet exo :

1- Soit (9 "un"), montrer que (OK)
2- a-développer le produit : (a et n de )
je trouve :
--b- en déduire une décomposition en nombres premiers de N (j'ai écrit mais ça ne m'avance pas )
3-Soit n de N* impair et non multiple de 5
a- montrer que pour tous m de : (OK)
b-montrer qu'il existe p et q distincts, de N* ,tel que (là je bloque)
c- montrer que n admet un multiple qui s'écrit sous forme 111...111

[globule rouge]

Bonsoir,

Il y a des questions qui me bloquent sur cet exo :

1- Soit (9 "un"), montrer que (OK)
2- a-développer le produit : (a et n de )
je trouve :
--b- en déduire une décomposition en nombres premiers de N (j'ai écrit mais ça ne m'avance pas )
3-Soit n de N* impair et non multiple de 5
a- montrer que pour tous m de : (OK)
b-montrer qu'il existe p et q différents de N* tel que (là je bloque)
c- montrer que n admet un multiple qui s'écrit sous forme 111...111

Salut manoa
Une petite question de la part d'une intéressée : comment tu fais pour calculer ce produit ? :hein:
Dans la question 3)b), tu veux dire que p et q n'appartiennent pas à N* plutôt, non ?

Julie

[Euler07]

Il a du multiplié le tout par (1-a) ensuite ba tu vois ce qui ce passe quand on fait (1-a)(1+a) puis rebelote :we:

:livre:

[globule rouge]

Il a du multiplié le tout par (1-a) ensuite ba tu vois ce qui ce passe quand on fait (1-a)(1+a) puis rebelote :we:

:livre:

ouah, une sorte de produit en cascade en quelque sorte ^^ J'aime bien l'effet domino !
Merci Jo

[manoa]

Salut manoa

Dans la question 3)b), tu veux dire que p et q n'appartiennent pas à N* plutôt, non ?

Julie

ah j'ai oublié une virgule, c'est (p et q différents) et (p,q) de (N*)²) .

mais je traduis, je suis pas sûr en fait si on dit plus différents ou distincts :hein:

[globule rouge]

ah j'ai oublié une virgule, c'est (p et q différents) et (p,q) de (N*)²) .

mais je traduis, je suis pas sûr en fait si on dit plus différents ou distincts :hein:

on dit plutôt a et b distincts ou a différent de b

[manoa]

on dit plutôt a et b distincts ou a différent de b

ah d'accord , merci :we: . J'edit

[globule rouge]

j'ai beau essayer de tourner ton problème dans tous les sens, j'avoue que je n'arrive à rien ! :triste:
Le niveau Marocain en arithmétique me surpasse complètement ^^

[manoa]

la demande d'aide est toujours d'actualité.
on peut trouver le (p,q) pour n premier par le petit Fermat, mais ça n'avance en rien :triste:

pour la dernière question: une proposition (si quelqu'un pouvait confirmer..) :

d'après 3-b on déduit quu'il existe un r de N tel que avec k vérifiant les condition de n, on prend k=9n donc et don 111...11 (r "un") est multiple de n .

[chan79]

Bonsoir,

Il y a des questions qui me bloquent sur cet exo :

1- Soit (9 "un"), montrer que (OK)
2- a-développer le produit : (a et n de )
je trouve :
--b- en déduire une décomposition en nombres premiers de N (j'ai écrit mais ça ne m'avance pas )

Salut
le 2a) se montre facilement par récurrence mais le 2b) ??????????
10N/9 - 1=123456789
ça donnera peut-être une idée à quelqu'un :happy2:

[manoa]

Salut
le 2a) se montre facilement par récurrence mais le 2b) ??????????
10N/9 - 1=123456789
ça donnera peut-être une idée à quelqu'un :happy2:

Merci pour ta réponse

non je vois pas :triste: par contre je viens de remarquer que 9|N (9 "un" je suis bête) , mais il s'agit de déduction de la précédente question ( ah,si c'était un 8 à la place su 9 :mur: ).

sinon pour le 3-a) ?

[chan79]

sinon pour le 3-a) ?

Si n est impair et non multiple de 5, il n' a ni 2, ni 5 dans sa décomposition en produit de facteurs premiers. Donc il est premier avec 10^m qui lui, n'a que des 2 et des 5 justement.

[Cauchy-Ito]

Bonsoir,

Il y a des questions qui me bloquent sur cet exo :

1- Soit (9 "un"), montrer que (OK)
2- a-développer le produit : (a et n de )
je trouve :
--b- en déduire une décomposition en nombres premiers de N (j'ai écrit mais ça ne m'avance pas )
3-Soit n de N* impair et non multiple de 5
a- montrer que pour tous m de : (OK)
b-montrer qu'il existe p et q distincts, de N* ,tel que (là je bloque)
c- montrer que n admet un multiple qui s'écrit sous forme 111...111

Bonjour , Voilà un bel exercice de TS!!!

Pour la question 2b/ voilà une astuce: 10^9-1= (10^3-1)*(10^6+10^3+1)= A (pour simplifier)

D'ou N= A/(10-1)=A/9= 999 * 1001001/9= 111* 1001001

De plus tout nombre dont la somme de ses chiffres est divisible par 3 est divisible par 3.

Ex: 111= 1+1+1=3 et 1001001=1+0+.......=3

Tu as plus qu'a conclure!! :we:

Pour le 3/a tu l'as fait!!!! et le 3/b pense à utiliser Bezout et la 3/a :

il existe U et V tels que: U*n+V*10^m=1 puisque qu'ils sont 1er entre eux.. puis aprés passe l'égalité modulo n.. :ptdr:

Et là dernière voilà une autre astuce qui ramène a celle d'avant:

111 111 111 = 111 +111 *10^3 + 111*10^6= 111*(..........)

Poster une solution aussi détaillée n'est pas dans mes habitudes mais l'exercice était assez costaud pour le niveau terminale et personne n'a proposé des pistes pour t'aider donc voilà...

PS: Pour l'histoire les nombres symétriques ex: 111 111 111 ; 37873 ; 1235321 ...sont appellés Palimdrome.. beaucoup de mystère entoure ces nombres....

[manoa]

Pour le 3/a tu l'as fait!!!! et le 3/b pense à utilisant Bezout en utiliser la 3/a :

il existe U et V tels que: U*n+V*10^m=1 puisque qu'ils sont 1er entre eux.. puis après passe l'égalité modulo n.. :ptdr:

Salut, et merci pour les hints ! apparemment la 2-a) ne sert qu'a embrouiller les pistes :hum: comment savoir en fait si 333667 est premier (je n'ai pas envie de tester tous les nombre premiers inférieur à 577 )

ah oui j'avais fait le 3-a) désolé !
pour le 3b) avec Bezout ça donne , mais le v on fait quoi avec ?

Pour la dernière je ne suis pas sûr d'avoir compris comment me servir de ton astuce ??

que penses-tu de ce raisonnement sinon:

D'après 3-b) on déduit qu'il existe un r de N tel que avec k vérifiant les conditions de n, on prend k=9n donc et donc 111...11 (r "un") est multiple de n .

[manoa]

Up !

Quelqu'un pour m'aider à en finir avec ce problème ? :mur:

[manoa]

Salut,
J'ai discuté cela avec un ami , et voici donc une solution à la 3-b) pour ceux que ça aurait intéressé..

Soit E l'ensemble des restes de la division de par n (avec a varie dans ) , vu que E est finie il existe alors (p,q) de N*² tel que et ont le même reste et alors :

:we:

[Jota Be]

Salut,
J'ai discuté cela avec un ami , et voici donc une solution à la 3-b) pour ceux que ça aurait intéressé..

Soit E l'ensemble des restes de la division de par n (avec a varie dans ) , vu que E est finie il existe alors (p,q) de N*² tel que et ont le même reste et alors :

:we:

Merci, pas mal comme truc :++:

[chan79]

Salut,
J'ai discuté cela avec un ami , et voici donc une solution à la 3-b) pour ceux que ça aurait intéressé..

Soit E l'ensemble des restes de la division de par n (avec a varie dans ) , vu que E est finie il existe alors (p,q) de N*² tel que et ont le même reste et alors :

:we:

oui, c'est effectivement facile, une fois qu'on l'a vu :we:
on peut faire un algorithme qui donne un couple (p,q) quand on entre n, mais on est vite limité par les dépassements de capacité quand p et q augmentent.
Pour n=35, ça donne (p,q)=(7,1)

[Cauchy-Ito]

oui, c'est effectivement facile, une fois qu'on l'a vu :we:
on peut faire un algorithme qui donne un couple (p,q) quand on entre n, mais on est vite limité par les dépassements de capacité quand p et q augmentent.
Pour n=35, ça donne (p,q)=(7,1)

Pour rappels n est non multiple de 5!!! :hein:

Pour le reste je pense pas que les deductions ensembliste soient le but de l'exercice..En passant par bezout le resultat se deduit facilement...

Il ya une faute dans ton raisonnement sur Bezout Manoa....

[chan79]

[quote="Cauchy-Ito"]Pour rappels n est non multiple de 5!!! :hein:
QUOTE]
Ah oui, exact mais il me semble que la démonstration proposée par manoa pour le 3b marche pour tout n
Je trouve quand même ce texte un peu décousu
le 2a) est-il utilisé dans la suite ?