Arithmétique

par **sad13** » 09 Avr 2012, 17:12

Bonsoir, j'ai du mal à conclure pour cet exo:

Soit n un entier naturel premier avec 2,3 et 5. Démontrer que n^4+29 est divisible par 30.

je sais que comme 2*3*5=30 et que 2,3 et 5 sont premiers entre eux, il suffirait de montrer que 2|n^4+29, 3|n^4+296 et 5|n^4+29 mais j'ai du mal à montrer 2|n^4+29, 3|n^4+29 et 5|n^4+29

par **Nightmare** » 09 Avr 2012, 17:16

Salut,

tu sembles partir du mauvais pied. n^4+29=(n^4-1)+30, il suffit donc de montrer que n^4-1 est divisible par 30, et en vertu de la décomposition 2*3*5=30 et du fait que 2,3 et 5 soient premiers, il suffit alors de montrer que n^4-1 est divisible par 2, 3 et 5.

Je te laisse essayer.

par **sad13** » 09 Avr 2012, 17:25

Ben vous utilisez l'idée que j'avais; pourquoi donc parlez vous de mauvais pied?

cela dit commençons par 2:

Si n est pair , n^4 l'est aussi mais n^4-1 est impair et là je buggue

Si n est impair, n^4+29 est une somme de deux impaires donc elle est paire

par **Nightmare** » 09 Avr 2012, 17:33

sad13 a écrit:Ben vous utilisez l'idée que j'avais; pourquoi donc parlez vous de mauvais pied?

Ce n'est pas du tout ce que j'ai lu dans ton premier post! L'idée que je propose est de ramener l'étude au cas simple de n^4-1, alors que tu proposes au contraire de te ramener à des cas beaucoup plus compliqués que n^4+296... (d'ailleurs je comprends pas bien ce qu'il vient faire là ce 296).

Si n est pair , n^4 l'est aussi mais n^4-1 est impair et là je buggue

Il ne faut pas oublier les hypothèses de l'énoncé. : n est premier à 2, 3 et 5 donc si tu commences en supposant n pair, ça ne va pas aller.

Si n est impair, n^4+29 est une somme de deux impaires donc elle est paire

C'est ok, mais pourquoi es-tu revenu à n^4+29 ?

par **antonyme** » 09 Avr 2012, 17:37

Nightmare a écrit: (d'ailleurs je comprends pas bien ce qu'il vient faire là ce 296).

A mon avis c'est une erreur de frappe... :lol3: (elle apparaît 2 fois à cause d'un copier/coller).

par **Nightmare** » 09 Avr 2012, 17:39

antonyme a écrit:A mon avis c'est une erreur de frappe... :lol3: (elle apparaît 2 fois à cause d'un copier/coller).

Effectivement!

par **manoa** » 09 Avr 2012, 17:48

essaye de voir du coté des modulo (sur n), c'est (je trouve) plus propre.
tu veux prouver que : n^4+29 =0 (modulo 2,3 et 5) ce qui revient à n^4=-29 (modulo 2,3 et 5) et encore n^4=1(modulo 2,3 et 5) comme proposé par Nightmare.

par **sad13** » 09 Avr 2012, 18:10

Merci @ tous; en effet c'était une erreur de frappe.

Revenons à l'exo:

A défaut d'être pair(erreur bête, n est forcément impair donc s'écrit sous la forme: n=2k+1

n^4 sera impair et n^4-1+30 sera pair donc divisible par 2.

Ensuite, pour 3 comme n est premier avec 3, n est de la forme 3k+1 ou 3k+2
i.e n=1[3] ou n=2[3]

donc n^4-1=0[3] ou n^4-1=15[3]=0[3]

i.e (n^4-1)+30=0[3] ou (n^4-1)+30=0[3]

De même pour 5 avec 4 cas à détaller n=5k+1,5k+2,5k+3 et 5k+4 ?

par **Nightmare** » 09 Avr 2012, 18:18

Oui c'est bon, mais encore une fois, tu n'as pas besoin de te trimbaler le +30 étant donné que n^4-1 = n^4+29 mod 30

par **manoa** » 09 Avr 2012, 18:21

en effet, mais il serait pe plus pratique de voir ,2 comme -(1) [3] , n=4[5] comme n=-1[5] 3 comme -2, 'fin pr gagner qq secondes :zen:

par **sad13** » 09 Avr 2012, 18:27

Nightmare a écrit:Oui c'est bon, mais encore une fois, tu n'as pas besoin de te trimbaler le +30 étant donné que n^4-1 = n^4+29 mod 30

ok merci ;en gros, il suffit de raisonner avec n^4-1

par **Nightmare** » 09 Avr 2012, 18:40

Oui, c'est bien ce que j'ai dit dans chacun de mes posts :lol3:

Arithmétique

Arithmétique

Qui est en ligne