Arithmétique

[sad13]

Bonsoir, petit souci :

"Démontrer que pour tout entier n, le nombre entier N = n²(n^4-1) est divisible par 60.

Merci

[chan79]

Bonsoir, petit souci :

"Démontrer que pour tout entier n, le nombre entier N = n²(n^4-1) est divisible par 60.

Merci

salut
c'est assez simple de montrer qu'il est divisible par 3, 4, et 5 (donc par 60 car 3, 4 et 5 sont 2 à 2 premiers entre eux)
évident pour 3
car n²-1, n² et n²+1 sont consécutifs
pour n=4
tu envisages 4k, 4k+1,4k+2 et 4k+3 pour les formes de n
et idem pour 5

[sad13]

Bonjour, merci beaucoup mais je ne comprends pas trop cette indication

"pour n=4
tu envisages 4k, 4k+1,4k+2 et 4k+3 pour les formes de n "

[chan79]

Bonjour, merci beaucoup mais je ne comprends pas trop cette indication

"pour n=4
tu envisages 4k, 4k+1,4k+2 et 4k+3 pour les formes de n "

N=n²(n-1)(n+1)(n²+1)
si n=4k, n est divisible par 4
si n=4k+1, n-1 esi divisible par 4
si n=4k+2, n²=16k²+16k+4 est divisible par 4
si n=4k+3, n+1 est divisible par 4
cela permet d'affirmer que N est toujours divisible par 4
pareil avec 5
5k, 5k+1, etc

[Jota Be]

Bonjour,
Pour montrer que c'est divisible par 5, on applique Fermat sur le deuxième facteur, afin d'aller un peu plus vite

[sad13]

Ok merci;

N=n²(n-1)(n+1)(n²+1) , je n'y ai pas pensé mais j'aurais plutôt écrit : N=n²*(n²-1)*(n²+1)
mais la tâche sera plus compliqué?


Pour 5: N=n²(n-1)(n+1)(n²+1)

Si n=5k, n² est divisible par 5
si n=5k+1, n-1 est divisible par 5
si n=5k+2, n²+1 est divisible par 5
si n=5k+3, n-1 =5k+2 est divisible par 5 (lol)
si n =5k+4, n+1=5k+5 est divisible par 5

Voilà, merci de me confirmer

puis vu que 3|N, 4|N et 5 |N on aura que leur produit divise N( cela se montre avec gauss , je crois, on montre que c'est vrai entre 3 et 4 puis comme 12 |N , 5|N et 12^5=1 on aura que 12*5=60 | N

Merci beaucoup

[Jota Be]

Ok merci;

N=n²(n-1)(n+1)(n²+1) , je n'y ai pas pensé mais j'aurais plutôt écrit : N=n²*(n²-1)*(n²+1)
mais la tâche sera plus compliqué?


Pour 5: N=n²(n-1)(n+1)(n²+1)

Si n=5k, n² est divisible par 5
si n=5k+1, n-1 est divisible par 5
si n=5k+2, n²+1 est divisible par 5
si n=5k+3, n-1 =5k+2 est divisible par 5 (lol)
si n =5k+4, n+1=5k+5 est divisible par 5

Voilà, merci de me confirmer

puis vu que 3|N, 4|N et 5 |N on aura que leur produit divise N( cela se montre avec gauss , je crois, on montre que c'est vrai entre 3 et 4 puis comme 12 |N , 5|N et 12^5=1 on aura que 12*5=60 | N

Merci beaucoup

5k+2 est divisible par 5 ?
Pour n=5k+3, on prend n²+1

[sad13]

*)si n=5k+2, n²+1 est divisible par 5 ; j'ai fait le calcul et c'est bon

Le voici : (5k+2)²+1=25k²+20k+4+1=25k²+20k+5

**)n=5k+3, n²+1=(5k+3)²=25k²+30k+10 est divisible par 5

Voilà le reste est bon? (le raisonnement etc)

[Jota Be]

*)si n=5k+2, n²+1 est divisible par 5 ; j'ai fait le calcul et c'est bon

Le voici : (5k+2)²+1=25k²+20k+4+1=25k²+20k+5

**)n=5k+3, n²+1=(5k+3)²=25k²+30k+10 est divisible par 5

Voilà le reste est bon? (le raisonnement etc)

oui oui mais je parlais du cas où n=5k+3. Tu disais alors que n-1=5k+2 mais ce n'est pas valable puisque 5k+2 n'est pas divisible par 5, donc n-1 ne le sera pas.
Après, tu t'es corrigé, mais dans le cas où n=5k+2, je n'avais rien à redire.
J'espère être clair

[chan79]

Ok merci;

N=n²(n-1)(n+1)(n²+1) , je n'y ai pas pensé mais j'aurais plutôt écrit : N=n²*(n²-1)*(n²+1)
mais la tâche sera plus compliqué?


Pour 5: N=n²(n-1)(n+1)(n²+1)

Si n=5k, n² est divisible par 5
si n=5k+1, n-1 est divisible par 5
si n=5k+2, n²+1 est divisible par 5
si n=5k+3, n-1 =5k+2 est divisible par 5 (lol)
si n =5k+4, n+1=5k+5 est divisible par 5

Voilà, merci de me confirmer

puis vu que 3|N, 4|N et 5 |N on aura que leur produit divise N( cela se montre avec gauss , je crois, on montre que c'est vrai entre 3 et 4 puis comme 12 |N , 5|N et 12^5=1 on aura que 12*5=60 | N

Merci beaucoup

pour n = 5k+3, n²+1 = ........