Arithmetique

[Anonyme]

Bonsoir,

Je cherche a résoudre l’équation:

ou x , y , z sont des entiers tel que .

Cet exo est issu du chapitre congruence de mon livre et donc normalement je dois utiliser des congruences pour le résoudre mais cela ne m'avance pas trop (j'obtiens pas des choses intéressantes avec ). Je pense pouvoir démontrer avec des inégalités que cette équation n'admet pas de solution mais c'est pas le but.

Des idées ?

Merci

[Ben314]

Salut,
Deux petites remarques avant de regarder des "calculs" :
1) A mon avis, c'est plutôt 02) Ton équation admet des solutions, par exemple x=1, y=5, z=24 (et il y en a d'autres...)

[nodjim]

Bof, déja x et y ne peuvent être ensemble 1 et 1.
Sinon, évaluons x^3=12x si les 3 entiers sont identiques. x²=12. ça fait des petits nombres. Par tatonnement, ça ne devrait pas aller bien loin.

[Nightmare]

Salut,

On peut supposer que 0
Ensuite, puisque x <= y <= z, xyz est minoré par zx² et 4(x+y+z) est majoré par 12z donc on obtient que x² doit être strictement inférieur à 12 ce qui nous donne que x peut valoir 1, 2 ou 3. Avec ça, ça réduit déjà pas mal l'équation.

Edit : En fait une fois avoir remplacé x par 1, 2 ou 3, on réapplique cette méthode de majoration à y par exemple, ça nous permet de conclure l'exercice, mais pas rapidement vu tous les cas à tester.

[Anonyme]

1) en effet j'ai mal recopié.

2) En fait j'ai juste reussi a demontrer que y<=8 (enfin il me semble ) .

[beagle]

2,4,6 est une petite solution

PS: ah ben ça attire du monde ce fil,
je ne vous avais pas entendu arriver.

[Anonyme]

Donc y a pas d'autre moyen que par des inégalités ?

[Nightmare]

C'est déjà bien d'avoir une méthode non? Sachant que tu n'en avais pas du tout au départ :lol3:

[Anonyme]

C'est déjà bien d'avoir une méthode non? Sachant que tu n'en avais pas du tout au départ :lol3:

Oui c'est bien :lol3:

En fait au départ j'avais réussi a démontrer que y <8 mais comme j'avais la flemme d'essayer les quelques dizaines de cas possible (:p) j'ai conjecturer qu'il n'y aurait pas de solution ^^

[Ben314]

Perso, j'ai réécrit xy=4+d où d=4(x+y)/z est entre 1 et 8 vu que x+y=<2z et, pour chaque valeur de d, l'équation xy=4+d n'admet que trés peu de solutions (une seule si 4+d est premier).
Je trouve 5 solutions : une avec d=1, deux avec d=2 et deux avec d=4.

[Anonyme]

Merci pour tout :zen:

Un peu déçu quand même qu'il n'y a pas de méthode avec les congruence alors que c'est un exo du chapitre.