Algèbre

[t.itou29]

Bonsoir,
Je suis tombé sur ce problème:
Soient tels que:
(1)
(2)
(3)
Montrer que:



J'ai réussi à le prouver mais il est précisé dans l'énoncé qu'il existe une solution simple et élégante, ce que n'est pas la mienne (j'ai supposé c et d non nuls, les ai exprimé en fonction des autres variables et réinjecté dans (2) ).
Quelqu'un aurait une idée ?

[Ben314]

Salut,
Tu connait les matrices ?
Si oui, c'est à peu prés plié.

[t.itou29]

Salut,
Tu connait les matrices ?

Non, je les ai pas encore vues. Après je sais pas ce qu'ils entendent par élégant

[Ben314]

Dans ce cas, une solution simple (et rapide) consiste à utiliser le fait que l'équation cartésienne est celle du cercle trigonométrique et qu'un système d'équation paramétrique de ce fameux cercle est évidement (la preuve tient alors 3 lignes...)

[t.itou29]

Dans ce cas, une solution simple (et rapide) consiste à utiliser le fait que l'équation cartésienne est celle du cercle trigonométrique et qu'un système d'équation paramétrique de ce fameux cercle est évidement (la preuve tient alors 3 lignes...)

Donc les 3 premières équations sont équivalentes à:



Ce qui implique et en transformant les équations avec les formules de trigo on obtient le résultat attendu. C'est ça ?

[Black Jack]

Si c = 0, par (2) on aurait d² = 1 mais par (3), on aurait b = 0 et par (1) : a² = 1
On a bien alors b²=c²=0 et (1) peut être remplacé par a²+c² = 1

Si b = 0, par (1) on aurait a² = 1 mais par (3), on aurait c = 0 et par (1) : d² = 1
On a bien alors b²=c²=0 et (1) peut être remplacé par a²+c² = 1

Si b et c sont différents de 0 :
(3) --> a = -bd/c
dans(1) --> b²d²/c² + b² = 1
d²/c² + 1 = 1/b²
(c²+d²)/c² = 1/b²
Et avec (2) ---> 1/c² = 1/b²
C² = b²
et on peut alors remplacer (1) par : a²+c²= 1

:zen:

[t.itou29]

Si c = 0, par (2) on aurait d² = 1 mais par (3), on aurait b = 0 et par (1) : a² = 1
On a bien alors b²=c²=0 et (1) peut être remplacé par a²+c² = 1

Si b = 0, par (1) on aurait a² = 1 mais par (3), on aurait c = 0 et par (1) : d² = 1
On a bien alors b²=c²=0 et (1) peut être remplacé par a²+c² = 1

Si b et c sont différents de 0 :
(3) --> a = -bd/c
dans(1) --> b²d²/c² + b² = 1
d²/c² + 1 = 1/b²
(c²+d²)/c² = 1/b²
Et avec (2) ---> 1/c² = 1/b²
C² = b²
et on peut alors remplacer (1) par : a²+c²= 1

:zen:

C'est quasiment la solution que j'avais trouvée mais je me demandais s'il y avait pas plus simple (bien que ce soit quand même relativement simple et court). La solution avec la trigo me plait assez, mais j'aurais jamais trouvé tout seul !

[Ben314]

Donc les 3 premières équations sont équivalentes à:



Ce qui implique et en transformant les équations avec les formules de trigo on obtient le résultat attendu. C'est ça ?

Oui, à une erreur prés, le fait que implique (donc a=-c et b=d) OU BIEN (donc a=c et b=-d)

[t.itou29]

Oui, à une erreur prés, la fait que implique (donc a=-c et b=d) OU BIEN (donc a=c et b=-d)

Ah oui j'avais oublié ...
merci !

[Ben314]

Ah oui j'avais oublié ...
merci !

Aprés, tu peut même aller encore plus vite si tu as des notions de géométrie : si on note u le vecteur de coordonnées u:(a,b) et v=(c,d), tes 3 équations disent que
1) ||u||=1
2) ||v||=1
3) le produit scalaire de u est v est nul (i.e. u est orthogonal à v).
Tu en déduit clairement que (c,d)=(-b,a) ou bien (c,d)=(b,-a) (les deux seuls vecteurs unitaires orthogonaux à u) d'où et

[t.itou29]

Aprés, tu peut même aller encore plus vite si tu as des notions de géométrie : si on note u le vecteur de coordonnées u:(a,b) et v=(c,d), tes 3 équations disent que
1) ||u||=1
2) ||v||=1
3) le produit scalaire de u est v est nul (i.e. u est orthogonal à v).
Tu en déduit clairement que (c,d)=(-b,a) ou bien (c,d)=(b,-a) (les deux seuls vecteurs unitaires orthogonaux à u) d'où et

J'ai vu rapidement les scalaires mais de là à faire le lien entre 3 équations et la "géométrie"...
À force de faire des exercices ça doit devenir plus évident.

[Ben314]

J'ai vu rapidement les scalaires mais de là à faire le lien entre 3 équations et la "géométrie"...
À force de faire des exercices ça doit devenir plus évident.

Disont simplement que celui qui a "inventé" l'exercice savait parfaitement que le résultat était "géométriquement évident".
On peut évidement le faire sans vision géométrique, mais on ne comprend pas trés d'où vien ce résultat "un peu magique". Avec la géométrie, on voit d'où vient le résultat et on peut le généraliser.

Si tu veut t'amuser, essaye de montrer ça (sans la géométrie, je pense que c'est assez "lourd"):
Soient tels que
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Montrer qu'on a forçément :
(1')
(2')
(3')
(4')
(5')
(6')

C'est le même résultat que le tient, mais en dimension 3 au lieu de la dimension 2...

[t.itou29]

Disont simplement que celui qui a "inventé" l'exercice savait parfaitement que le résultat était "géométriquement évident".
On peut évidement le faire sans vision géométrique, mais on ne comprend pas trés d'où vien ce résultat "un peu magique". Avec la géométrie, on voit d'où vient le résultat et on peut le généraliser.

Si tu veut t'amuser, essaye de montrer ça (sans la géométrie, je pense que c'est assez "lourd"):
Soient tels que
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Montrer qu'on a forçément :
(1')
(2')
(3')
(4')
(5')
(6')

C'est le même résultat que le tient, mais en dimension 3 au lieu de la dimension 2...

C'est ce que je me suis dit (pour la dimension 3), il faut donc poser u=(a;b;c) v=(d;e;f) et w=(g;h;i) puis faire la même chose, après pour la conclusion il y a peut-être plus de cas à distinguer. C'est sûr que sans géométrie ça doit être assez (voire très) fastidieux.