Aire d'une sphère

[Anonyme]

Comment retrouver par le calcul intégral l'aire d'une sphère ?

Merci pour votre aide.

[Anonyme]

Bonsoir, le 08.08 2003, Hugues a écrit :

> Comment retrouver par le calcul intégral
> l'aire d'une sphère ?

Le volume plutôt non ? (plus classique)

On met notre sphère de rayon r et de centre O
dans un repère orthonormé (Oxyz).

Puis on calcule, en fonction de z, l'aire du disque
qui est la section du plan d'équation z=a (a dans [-r;r])
avec la sphère.
En utilisant le théorème de Pythagore,
on trouve alors A(z) = Pi*(r^2-z^2).

Ensuite, on fait la somme des disques de l'axe (Oz) pour retrouver le
volume de la sphère, c'est int(-r,r,A(z),dz), on trouve (4/3)*Pi*r^3.

La méthode c'est de calculer l'aire d'une surface plane perpendiculaire à
un axe et de " la faire glisser sur l'axe " en calculant l'intégrale.



Si c'était pour l'aire, je ne vois pas comment faire avec le calcul
intégral.

À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

On peut le faire ... bien sur (ouf)

pour un solide de révolution comme la sphère, il faut intégrer:

2*pi*int(f(x),ds)

où f(x) est la fonction qui décrit la forme de révolution
ici f(x) =
2 2 1/2
(r - x ) soit l'équation d'un cercle

et ds est l'élément d'arc
ici ds = sqrt(1-f'(x)²) =
/ 2 \1/2
| x |
| ------- + 1 |
| 2 2 |
\ r - x /


soit l'intégrale
/r / 2 \1/2
| 2 2 1/2 | x |
2.pi. | (r - x ) |1 + -------| dx
| | 2 2|
/0 \ r - x /

soit 2.pi.r² pour une demi-sphère

donc la surface de la sphère = 4.pi.r²

A+

Fanch

[Anonyme]

Comme pour le volume on coupe en tranche par des plans d'équation z =a
une tranche d'épaisseur dz = R d theta est assimilable à un cylindre de
hauteur R d theta et de
perimétre 2 pi R cos theta. Son aire est donc 2 pi R cos theta R d theta
qu'on intègre
entre - pi /2 et pi /2 pour trouver 4 pi R^2.

[Anonyme]

Bonsoir, le 09.08 2003, Fanch a écrit :

> 2*pi*int(f(x),ds)
> [...]
> et ds est l'élément d'arc

Qu'est-ce que l'élément d'arc ?
À quoi ça correspond géométriquement ?

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"MALHERBE HUGUES" a écrit dans le message de
news: 3f33f328$0$1115$626a54ce@news.free.fr...
> Comment retrouver par le calcul intégral l'aire d'une sphère ?
>

Tu prends un des diamètres de la sphère. Si tu considères les différents
plans orthogonaux à ce diamètre, l'intersection de la sphère avec le plan te
donne un cercle dont tu connais le périmètre (en fonction de la distance
entre ce plan et le centre de la sphère). Tu n'as donc plus qu'à intégrer le
périmètre pour une distance entre -r et r (rayon de la sphère).

Antoine

ps : même principe pour le volume de la boule en intégrant l'aire des
disques.

[Anonyme]

"Antoine Benoit" a écrit dans le message news:
bh2hg5$mh$1@bisounours.iiens.net...
> "MALHERBE HUGUES" a écrit dans le message de
> news: 3f33f328$0$1115$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Comment retrouver par le calcul intégral l'aire d'une sphère ?
> >
>
> Tu prends un des diamètres de la sphère. Si tu considères les différents
> plans orthogonaux à ce diamètre, l'intersection de la sphère avec le plan[/color]
te
> donne un cercle dont tu connais le périmètre (en fonction de la distance
> entre ce plan et le centre de la sphère). Tu n'as donc plus qu'à intégrer
le
> périmètre pour une distance entre -r et r (rayon de la sphère).


Non, ça ne marche pas : avec r =1 (auquel on peut toujours se ramener), ça
donnerait S=int(2*Pi*r(z)dz,z= -1..1) avec r(z)=(1-z^2)^(1/2) d'où S=Pi^2 ce
qui n'est pas exact. L'approximation 2*Pi*r(z)dz se degrade lorsque la bande
interceptée sur la sphère passe de la position presque verticale à la
position horizontale.

En fait, S=int(2*Pi*r(z)dt,z= -1..1) où dt est la longueur d'un petit
segment intercepté par la sphère quand on passe de S a S+dS. Le plus simple
me semble-t-il est de paramétrer par l'angle u
que fait, avec le plan horizontal, le cercle de la sphère intercepté par le
plan de cote z. Ca donne alors
S=2*int(dt*2*Pi*sin(u),u=0..Pi/2) et
dt se confond a l'ordre 1 à R*du=1*du=du et donc
S=2*int(du*2*Pi*sin(u),u=0..Pi/2)=4*Pi comme attendu.

>
> Antoine
>
> ps : même principe pour le volume de la boule en intégrant l'aire des
> disques.

Là, en revanche, ça marche :
V=int(Pi*r(z)^2,z= -1..1) = 4/3*Pi.


>
>

[Anonyme]

MALHERBE HUGUES wrote:

> Comment retrouver par le calcul intégral l'aire d'une sphère ?

On calcule le volume, (rondelles de saucisson, et on dérive par rapport
à r (pelure d'oignon).

Je te laisse mettre en. forme

--
Des fois je m'assois et je pense, des fois je m'assois seulement

[Anonyme]

"Raoul" a écrit dans le message news:
1fzjv3v.1xny26flhghq8N%francois.mondot@wanadoo.fr...
> MALHERBE HUGUES wrote:
>[color=green]
> > Comment retrouver par le calcul intégral l'aire d'une sphère ?
>
> On calcule le volume, (rondelles de saucisson, et on dérive par rapport
> à r (pelure d'oignon).
>
> Je te laisse mettre en. forme[/color]


Intéressant. On prend deux sphères concentriques de rayons r et r+ep
séparées d'une épaisseur ep et intuitivement, l'aire est le taux
[V(r+ep)-V(r)]/ep qd ep tend vers 0, ce qui donne bien le résultat attendu.
Ca marche aussi pour un cube d'arête a (prendre r =a/2). Ca marche aussi
pour le calcul du périmètre du cercle quand on connait son aire :
d(Pi*r^2)/dr=2*Pi*r. C'est vraiment amusant et ça doit certainement pouvoir
se généraliser.


>
> --
> Des fois je m'assois et je pense, des fois je m'assois seulement