Point de tangence d'une tangente à une sphère

[Notilix]

Bonjour,

Je fais face à un problème assez difficile. Voici la situation :


Soit une sphère S de rayon connu. Soient 3 points B, D et C dont C et B dont à la surface de S. Soit T une tangente à la sphère S passant par D.
Je connais les coordonnées sphériques de B et D. Soit le plan P formé par les trois points O, B et D. Je connais son équation sous la forme (Ax + By + Cz + d = 0) en ayant effectué le produit vectoriel de OB et OD.
Je souhaite maintenant connaitre les coordonnées de C, le point appartenant à la fois au plan P et à la tangente T.

J'ai pensé au fait que le produit scalaire des vecteurs OC et CD est nul, mais je ne sais pas vraiment par où commencer.

Merci pour votre précieuse aide.

[pascal16]

une façon de faire.
-> soit B' le point d’intersection de (OB) et (DC)
-> rechercher l'équation de (DB') : faisable avec un seul paramètre a tel que OB'=aOB
-> piquer sur internet la distance d'un droite à un point
-> quand la distance vaut le rayon de la sphère, on l'équation de la droite.

C est tel que
-> C est sur la droite trouvée
-> OC.DB=0

Je pense qu'il y a des façon analytiques qui passent par un delta nul quand la droite est tangente
et en second temps l'appartenance au pan

[Notilix]

Bonjour pascal16,

Merci pour vôtre réponse. Trouver les coordonnées de C a vraiment pas l'air facile.
Je vais essayer votre méthode, je posterai mes avancements, s'il y en a !

[aviateur]

Bonjour
Moralement le problème n'est pas compliqué mais:
C étant sur la sphère, en travaillant en coordonnées sphériques, on connait déjà r=OC.
On a donc 2 inconnues et il faut trouver 2 équations. Par exemple celles de Pascal16.
Le problème est la résolution du système d'équation qui au demeurant n'est pas linéaire. Là où cela se complique c'est que l'on n'a pas les données précises donc on ne voit pas comment on peut t'aider sinon quede considérer des généralités. Selon les données le système sera résolu d'une façon ou d'une autre.
Je ne vois pas pourquoi tu ne donnes pas les coordonnées de B et D.

[Notilix]

Bonjour aviateur,

Effectivement, je connais les coordonnées de B et D, par leur altitude, longitude et latitude (ρ, θ, δ). Cependant, mon projet est en fait de calculer la distance d'un point sur la terre (B, ma maison) à l'ISS (la station spatiale internationale, le point D) en passant par l'arc de cercle BC puis par la tangente T (quand l'angle BOC est plus grand que 0, sinon je calcule la distance euclidienne, ce que je sais déjà faire). Les coordonnées sphériques de D sont récupérées en temps réel par internet avec un script en python, je n'ai donc pas accès directement aux données numériques.

Si on revient aux coordonnées cartésiennes j'ai quelque chose comme ça :



et :



où je connais donc

J'avais alors pensé poser que si :



à force de simplification, je me disais que je pourrais récupérer pour un certain angle l'angle (ou vice-versa) correspondant au point de tangence de la tangente à la sphère passant par D. Mais ça ne permet par de savoir quel angle choisir pour être dans le plan P et je crois que je me retrouve ici avec une sorte d'ensemble de points (veuillez excuser mon manque de précision pour les termes utilisés) et il faudrait que je détermine avec mon plan une sorte d'intersection ?

Merci beaucoup pour votre aide

[Notilix]

Je viens d'avoir une idée. Le vecteur OC est censé appartenir à mon plan. Je connais le vecteur normal n au plan P, je peux alors poser une autre équation comme quoi le produit scalaire de OC avec n est nul, j'ai alors deux équations qui sont :



et



est-ce que ma piste vous semble intéressante ?

[chan79]

salut
Pas sûr du tout que ça serve.
J'ai pris un exemple numérique, avec les coordonnées cartésiennes.
S est la sphère de centre O et de rayon 1
Equation de S: x^2+y^2+z^2=1
On a B(1,0,0) un point de cette sphère et D(-2,-3,2)
Equation du plan P dont un vecteur normal est le produit vectoriel de et :
2y+3z=0
Il faut que les vecteurs et soient orthogonaux
ce qui donne l'équation de sphère:
x^2+y^2+z^2=-2x-3y+2z
On résout le systèmes formé par ces trois équations (en rouge)
On trouve 2 points
C1=((13z1-2)/4,-3z1/4,z1) avec z1=
C2((13z2-2)/4,-3z2/4,z2) avec z2=

[aviateur]

Bonjour
Visiblement tes données sont générales et il n'y aura pas de solutions toute faite. Si j'ai bien compris il s'agit de calculer les solutions à travers un programme.
Pour cela je préconise la méthode suivante.
Soit les coordonnées de D (notation analogues pour les coordonnées de B et C.)
Les inconnues sont donc ( à la fin on repasse en coordonnées sphériques si nécessaire)

On écrit les trois équations suivantes
eq1 :=det (B,C,D) =0 (qui exprime que B,C et D sont coplanaires)

eq2:= (D-C).C =0 qui exprime que OC et DC sont orthogonaux

eq3= B.B - C.C =0 qui exprime que OB =OC.

L'équation eq1 est linéaire.
Dans l'équation 2. on élimine le terme non linéaire C.C grâce à l'équation 3.

ainsi l'équation 2 devient linéaire.

On résout par substitution
par exemple on calcul avec l'équation 1, puis avec l'équation 2.

On remplace dans eq3 qui est une équation de degré 2 d'inconnue on trouve alors les 2
solutions.

Je ne sais pas si cela correspond à ce que tu cherches mais cela serait bien cela que je programmerai.

[Ben314]

Salut,
Je suis pas sûr d'avoir tout compris, mais au cas où....
Ton plan , il est dirigé par et (en supposant non aligné)
Donc une droite contenue dans (et ne passant par par ) est dirigé par un vecteur avec et si elle passe par , c'est que c'est l'ensemble des points de la forme avec .
Dire que cette droite est tangente à la sphère de centre de rayon ça veut exactement dire qu'il y a un unique point de la droite qui est sur la sphère (et c'est lui le point que tu cherche).
Ça signifie que tu cherche tels que l'équation (en ) ait une unique solution. Or,

Où (produit scalaire) sont facilement calculable.
Pour que l'équation , c'est à dire (=équation du second degré) ait une unique solution, il faut que son discriminant soit nul et, après calculs, ça donne
puis tu en déduit la valeur de la racine double de l'équation qui est
Ce qui te donne les deux solutions possibles pour ton point

On peut vérifier que tout ce qui apparait dans les calculs est "on ne peut plus cohérent". Pour que ça marche,
- Il faut évidement que soit à l'extérieur de la sphère donc que
- Comme sont non alignés, on a c'est à dire

[Notilix]

Bonjour,

Merci à tous pour toutes vos idées et pistes de réflexion très intéressantes !

Ben314: J'ai essayé de suivre votre élégant raisonnement et de le reproduire. Je pensais avoir compris mais après avoir effectué une application numérique, je ne trouve pas le résultat attendu.
J'ai utilisé GeoGebra pour simuler la situation, et voici ce qu'il en sort :



Que l'on prenne l'un ou l'autre le vecteur C semble juste changer de norme mais pas de direction. Quoiqu'il en soit je ne trouve pas les bonnes coordonnées du point C.

Je ne crois pas avoir fait d'erreur de saisie, en tous cas j'ai passé du temps à vérifier, peut-être que je n'ai pas bien compris votre raisonnement.

Merci encore

[Ben314]

Effectivement : je me suis gouré en recopiant les solutions des système...
Je modifie le post précédent (en rouge)

Sinon, il doit y avoir (pas mal) plus joli pour trouver les mêmes formules, en particulier du fait que où est l'angle entre et .

[Notilix]

Bonjour Ben,

Merci beaucoup, ça fonctionne à merveille ! Je suis épaté par la clarté de votre procédé, je m'étais lancé dans des énormes formules de trigonométrie que je ne pouvais résoudre tellement l'inconnue était présente de nombreuses fois.

Je suis un lycées en terminale S qui souhaite aller en prépa et j'ai beaucoup aimé travailler sur ce problème, merci à tous ceux qui ont participé, ça m'a permis d'apprendre pas mal de choses !

[Ben314]

Sinon, il y a effectivement bien plus rapide :

On pose de nouveau
- est dans le plan .
- est sur la sphère
- tangent à la sphère

Et on a
Donc

Et en fait, le point tel que est le milieu des deux solutions et il est évident à calculer en utilisant le fait que les triangles (rectangles) (OCD) et (OMC) sont semblables (faire un dessin).
Et les vecteur , c'est les 2 vecteurs unitaires de (OBD) orthogonaux à .