Tangente perpendiculaire au rayon du cercle

Forum d'archive d'entraide mathématique
Anonyme

tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.

niveau de l'exercice : inconnu.



Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

luc2 wrote:
> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.
>
> niveau de l'exercice : inconnu.


Bon, alors, a la louche :
-- par rotation, il suffit de considerer le cas suivant :
on considere un plan avec un axe Ox et le centre
du cercle est en O. De plus le point I est sur cet axe.
-- par symetrie par rapport a cet axe, la tangente en I
ne peut etre que verticale (seule droite invariante par
cette symetrie passant par I).
JQCA,
Olivier

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

"luc2" a écrit

> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.


A la papa...
On va définir la tangente par le fait qu'elle n'a qu'un seul point
d'intersection avec le cercle.
Soit J le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur T.
Si OJ R, alors a fortiori OI > R (inégalité triangulaire dans OO'J, où
O' est le symétrique de O par rapport à T) contrairement à l'hypothèse.
Donc OJ = R, J est sur le cercle et donc J = I puisque T est tangente.
CQFD.

Cordialement
Stéphane

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

luc2 a écrit:
> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.


Traçons la // à la droite T passant par O : elle coupe le crecle en J et
K. Les triangles IOJ et IOK ont un côte commun OI, deux côtés égaux OJ
et OK (rayons du cercle) Si avec ça ils ne sont pas égaux (hypothése de
raisonnement pas l'absurde) c'est que JK n'est pas // à T : donc...

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

"Paul Delannoy" a écrit
:[color=green]
>> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
>> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.

>
> Traçons la // à la droite T passant par O : elle coupe le crecle en J
> et K. Les triangles IOJ et IOK ont un côte commun OI, deux côtés
> égaux OJ et OK (rayons du cercle) Si avec ça ils ne sont pas égaux
> (hypothése de raisonnement pas l'absurde) c'est que JK n'est pas // à
> T : donc...
>[/color]
C'est bizarre, à aucun moment tu n'utilises le fait que T est la
tangente...

Cordialement
Stéphane

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

Stéphane Ménart a écrit:
> "Paul Delannoy" a écrit
> :
>[color=green][color=darkred]
>>> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
>>> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.

>>
>>
>> Traçons la // à la droite T passant par O : elle coupe le crecle en J
>> et K. Les triangles IOJ et IOK ont un côte commun OI, deux côtés
>> égaux OJ et OK (rayons du cercle) Si avec ça ils ne sont pas égaux
>> (hypothése de raisonnement pas l'absurde) c'est que JK n'est pas // à
>> T : donc...
>>[/color]
> C'est bizarre, à aucun moment tu n'utilises le fait que T est la
> tangente...[/color]
Exact : je suis allé trop vite Désolé.


> Cordialement

itou

> Stéphane

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:00

In article ,
luc2 wrote:

> soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
> un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.
>
> niveau de l'exercice : inconnu.



Euclide III.18.

Ken Pledger.

Anonyme

Re: tangente perpendiculaire au rayon du cercle

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:01

On Mon, 29 Nov 2004 13:30:08 +0100, luc2 wrote:

>soit un cercle C de centre 0. soit T une droite tangente au cercle en
>un point I. demontrer que (OI) est perpendiculaire a T.
>
>niveau de l'exercice : inconnu.


bon, j'ai trouve la solution en m'inspirant de vos reponses, qui n'ont
pas toujours ete comprehensibles.

soit K le projete orthogonal de O sur T. OK est la plus courte
distance de O a K (ca se demontre en 4eme). or, OI = r. donc OK <= r.

supposons OK < r. comme K appartient a T, cela signifierait que T
passe A L'INTERIEUR du cercle. T ne serait donc pas tangent au cercle.
supposer OK < r est donc absurde. par consequent, OK = r.

OK = r implique que K appartient au cercle. K appartient donc a la
fois au cercle et a la tangente. or, il n'y a qu'un seul point qui
verifie ces conditions : I. conclusion K = I.

(OK) est perpendiculaire a T. comme K = I, alors (OI) est
perpendiculaire a T.


 

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