Algebre linéaire Rayon spectral

[Anonyme]

Bonjour voici l'énoncé qui me pose probleme:
Soit M et N deux matrices réelles carrées d'ordre n telles que:
1) M soit inversible
2) M-N soit symétrique et definie positive
3) Mt+N est definié postive.
Alors montrer que le rayon spectral est inferieur a 1 strictement.
t signifie transposé

[Anonyme]

On Tue, 18 Jan 2005 00:07:15 +0100, "jaja" wrote:

>Bonjour voici l'énoncé qui me pose probleme:
>Soit M et N deux matrices réelles carrées d'ordre n telles que:
>1) M soit inversible
>2) M-N soit symétrique et definie positive
>3) Mt+N est definié postive.
>Alors montrer que le rayon spectral est inferieur a 1 strictement.
>t signifie transposé
>
>
rayon spectral de quelle matrice?
en outre
si M est diagonale avec que des 100 sur la diagonale (par exemple)
on peut prendre N=0

et je ne vois pas où se trouve un rayon spectral<1
?
mais bon je suis peut-être mal réveillé
_________________________________
perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
olympiades 1ère S
__________________________________

[Anonyme]

Oups je suis désolé le rayon spectral de M^-1*N
a écrit dans le message de news:
41ecdd21.4467733@news.wanadoo.fr...
> On Tue, 18 Jan 2005 00:07:15 +0100, "jaja" wrote:
>[color=green]
>>Bonjour voici l'énoncé qui me pose probleme:
>>Soit M et N deux matrices réelles carrées d'ordre n telles que:
>>1) M soit inversible
>>2) M-N soit symétrique et definie positive
>>3) Mt+N est definié postive.
>>Alors montrer que le rayon spectral est inferieur a 1 strictement.
>>t signifie transposé
>>
>>
> rayon spectral de quelle matrice?
> en outre
> si M est diagonale avec que des 100 sur la diagonale (par exemple)
> on peut prendre N=0
>
> et je ne vois pas où se trouve un rayon spectral ?
> mais bon je suis peut-être mal réveillé
> _________________________________
> perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> olympiades 1ère S
> __________________________________[/color]

[Anonyme]

"jaja" a écrit dans le message de news:
41ec4523$0$7835$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour voici l'énoncé qui me pose probleme:
> Soit M et N deux matrices réelles carrées d'ordre n telles que:
> 1) M soit inversible
> 2) M-N soit symétrique et definie positive
> 3) Mt+N est definié postive.
> Alors montrer que le rayon spectral est inferieur a 1 strictement.
> t signifie transposé
>

Soit lambda une valeur propre de M^-1*N, alors il existe x vecteur propre
(donc non nul) tq M^-1*Nx = lambda*x et, en composant par M :
Nx = lambda*Mx.

Puis, (M-N)x = (1-lambda)*Mx et : transpose(x)(M-N)x =
(1-lambda)transpose(x)Mx (égalité 1).

Comme M-N est definie positive le membre de gauche est positif (strictement
puisque x n'est pas nul) et le second aussi évidemment.

Mais la somme de deux matrices def. positives est encore une matrice déf.
positive. Ainsi, transpose(M) + M est définie positive et,
transpose(x)transpose(M)x + transpose(x)Mx > 0.

Mais, transpose(transpose(x)Mx) = transpose(x)transpose(M)x. Comme il s'agit
de scalaires ces deux matrices (1x1) sont égales et la somme précedente vaut
en fait 2*transpose(x)Mx qui est strictement positif.

En revenant à l'égalité 1, on déduit que 1-lambda > 0. Cela pour toute vp
lambda de M^-1*N. Le rayon spectral est donc lui-même inférieur à 1.

G.

[Anonyme]

On Wed, 19 Jan 2005 16:14:42 +0100, "Gérard Nin"
wrote:

>
>"jaja" a écrit dans le message de news:
>41ec4523$0$7835$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
>> Bonjour voici l'énoncé qui me pose probleme:
>> Soit M et N deux matrices réelles carrées d'ordre n telles que:
>> 1) M soit inversible
>> 2) M-N soit symétrique et definie positive
>> 3) Mt+N est definié postive.
>> Alors montrer que le rayon spectral est inferieur a 1 strictement.
>> t signifie transposé
>>
>
>Soit lambda une valeur propre de M^-1*N, alors il existe x vecteur propre
>(donc non nul) tq M^-1*Nx = lambda*x et, en composant par M :
>Nx = lambda*Mx.
>
>Puis, (M-N)x = (1-lambda)*Mx et : transpose(x)(M-N)x =
>(1-lambda)transpose(x)Mx (égalité 1).
>
>Comme M-N est definie positive le membre de gauche est positif (strictement
>puisque x n'est pas nul) et le second aussi évidemment.
>
>Mais la somme de deux matrices def. positives est encore une matrice déf.
>positive. Ainsi, transpose(M) + M est définie positive et,
>transpose(x)transpose(M)x + transpose(x)Mx > 0.
>
>Mais, transpose(transpose(x)Mx) = transpose(x)transpose(M)x. Comme il s'agit
>de scalaires ces deux matrices (1x1) sont égales et la somme précedente vaut
>en fait 2*transpose(x)Mx qui est strictement positif.
>
>En revenant à l'égalité 1, on déduit que 1-lambda > 0. Cela pour toute vp
>lambda de M^-1*N. Le rayon spectral est donc lui-même inférieur à 1.
>
>G.[/color]
oui, j'avais tourné autour mais pas trouvé;
par contre je crois que le rayon spectral c'est le max des modules des
vp
donc là à mon avis il reste à montrer
que 1+lambda >0
en partant de ton
Nx=lamdaMx j'ajoute Mx des 2 côtés
donc
(N+M)x=(1+lambda)Mx
et
tx(N+M)x=(1+lamba )txMx
or txMx>0, (voir ta démo)
et tx(N+M)x=tx(N+tM)x (car txMx=txtMx)
or N+tM dfn positive donc tx(N+M)x>0
donc 1+lambda >0
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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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