Ellipse tangente à un cercle

[Anonyme]

Bonjour,

Je cherche un moyen pour déterminer une ellipse tangente à un cercle,
les foyers étant donnés, ainsi que le cercle.

Quelqu'un aurait une idée ?

Merci.

Hib.

[Anonyme]

Hibernatus a écrit :
> Bonjour,
>
> Je cherche un moyen pour déterminer une ellipse tangente à un cercle,
> les foyers étant donnés, ainsi que le cercle.
>
> Quelqu'un aurait une idée ?

Juste une idée : définir la fonction f qui à tout point M du cercle
associe MP + MQ (avec P et Q) les deux foyers. L'étudier (oui, je sais,
c'est là que ça coince probablement). S'il existe une valeur d telle
qu'il existe un unique M vérifiant f(M)=d, alors c'est gagné (par
définition élémentaire d'une ellipse).
Après c'est sûr qu'il y a des cas où il n'y a pas de solution (genre
P=Q=O centre du cercle, ou bien P dans le cercle et Q à l'extérieur)
donc peut-être qu'au niveau des calculs ce n'est pas possible de
travailler en toute généralité. A voir...

--
Gabriel Kerneis

[Anonyme]

Gabriel Kerneis a écrit :
> Hibernatus a écrit :[color=green]
>> Je cherche un moyen pour déterminer une ellipse tangente à un cercle,
>> les foyers étant donnés, ainsi que le cercle.
>>
>> Quelqu'un aurait une idée ?
> Juste une idée : définir la fonction f qui à tout point M du cercle
> associe MP + MQ (avec P et Q) les deux foyers. L'étudier (oui, je sais,
> c'est là que ça coince probablement). S'il existe une valeur d telle
> qu'il existe un unique M vérifiant f(M)=d, alors c'est gagné (par
> définition élémentaire d'une ellipse).[/color]

Tous calculs faits, et sauf erreur de ma part dans les transformations
trigonométriques, on obtient, en posant le cercle centré en l'origine O,
de rayon r, et avec P(a,b) et Q(c,d) :

f(t) = sqrt(r²+OP²-2r*OP*cos(t-phi))+sqrt(r²+OQ²-2r*OP*cos(t-psi))

avec phi et psi tels que :
sin(phi)=a/OP ; cos(phi)=b/OP
et sin(psi)=c/OQ ; cos(psi)=c/OQ

On peut essayer de faire apparaitre la distance de chaque foyer au
cercle dans les racines (ie. (r-OP)²-2*r*OP*(1-cos(t-phi)) ) mais je ne
vois pas trop comment poursuivre l'étude (j'ai essayé de passer par f²
pour regrouper des termes mais je n'ai pas de logiciel de calcul formel
chez moi et je sens que les calculs deviennent très pénibles).

--
Gabriel (intéressé de savoir si vous trouvez une solution)

[Anonyme]

Gabriel Kerneis wrote:
> Hibernatus a écrit :
>[color=green]
>> Je cherche un moyen pour déterminer une ellipse tangente à un cercle,
>> les foyers étant donnés, ainsi que le cercle.
>
>
> Juste une idée : définir la fonction f qui à tout point M du cercle
> associe MP + MQ (avec P et Q) les deux foyers. L'étudier (oui, je sais,
> c'est là que ça coince probablement). S'il existe une valeur d telle
> qu'il existe un unique M vérifiant f(M)=d, alors c'est gagné (par
> définition élémentaire d'une ellipse).[/color]

Bonjour Gabriel,

En fait, c'est précisément là que je veux en venir ! J'espérais trouver
une construction moins analytique, joliment géométrique, pour déterminer
le point du cercle qui minimise cette somme. Mais je crains que ce soit
vain.

Juste pour citer le contexte : il existe un exercice connu (peut-être dû
à Erdös ?) où il s'agit de déterminer le chemin minimal d'un point à un
autre, en le forçant à passer par une droite donnée. On peut se lancer
dans une résolution analytique, mais une astuce donne le résultat en
deux secondes : considérer le symétrique d'un des points par la droite,
et relier cette image à l'autre.

Je me demandais s'il existait des astuces similaires lorsqu'on modifie
la contrainte (imposer que le chemin passe par le cercle). D'où le problème.

> Après c'est sûr qu'il y a des cas où il n'y a pas de solution (genre
> P=Q=O centre du cercle,

Là, je dirais que c'est facile

Hib.

[Anonyme]

Gabriel Kerneis wrote:

> On peut essayer de faire apparaitre la distance de chaque foyer au
> cercle dans les racines (ie. (r-OP)²-2*r*OP*(1-cos(t-phi)) ) mais je ne
> vois pas trop comment poursuivre l'étude

J'en suis au même point

[Anonyme]

"Hibernatus" a écrit dans le message
de news: 4226dfa6$0$11696$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour,
>
> Je cherche un moyen pour déterminer une ellipse tangente à un cercle, les
> foyers étant donnés, ainsi que le cercle.
>
> Quelqu'un aurait une idée ?
>
> Merci.
>
> Hib.

Avez-vous essayé dans google "billard circulaire" ?

bonne chance
J.R.
http://ketroux.club.fr/