Suites

Forum d'archive d'entraide mathématique
Anonyme

suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

Voila, un exo de niveau MPSI :

on a montré avec l'inégalité des accroissements finis que la suite U(n)
vérifie :

|U(n+1)-U(n)| exp(-k*x^2) , k dans [0,1/2[

Voila! merci d'avance...



Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

ultrawave wrote:
> Voila, un exo de niveau MPSI :
>
> on a montré avec l'inégalité des accroissements finis que la suite U(n)
> vérifie :
>
> |U(n+1)-U(n)|
> En déduire que la suite converge...
>
> On a montré précédemment que la suite est bornée dans [0,1] .
>
> Je vous donne l'expression de U(n), si ça peut vous aider :
> U(0)=0
> U(n+1)=f(U(n)) avec f : x->exp(-k*x^2) , k dans [0,1/2[
>
> Voila! merci d'avance...


Essayes de déduire une majoration de |U(n+p)-U(n)|=|U(n+p)-U(n+p-1)+...
+U(n+1)-U(n)| pour n fixé (majoration par l'inégalité triangulaire puis
la somme des termes d'une série géometrique).

La suite étant bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on
peut en extraire une sous suite qui converge. Soit phi son extractice et
l sa limite.

Soit epsilon > 0. On peut trouver n tq u(phi(n)) soit à une distance
inférieure à epsilon/2 de l (pourquoi ? ...). Ensuite, on peut controler
la distance des autres termes de la suite à ce u(phi(n)) (premier
paragraphe) et imposer que pour un certain N, n>N implique que la
distance de u(n) à u(phi(n)) soit inférieure à epsilon/2. Et ainsi ...

--
albert

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

albert junior a écrit :
> ultrawave wrote:
>[color=green]
>> Voila, un exo de niveau MPSI :
>>
>> on a montré avec l'inégalité des accroissements finis que la suite U(n)
>> vérifie :
>>
>> |U(n+1)-U(n)| >
>> En déduire que la suite converge...
>>
>> On a montré précédemment que la suite est bornée dans [0,1] .
>>
>> Je vous donne l'expression de U(n), si ça peut vous aider :
>> U(0)=0
>> U(n+1)=f(U(n)) avec f : x->exp(-k*x^2) , k dans [0,1/2[
>>
>> Voila! merci d'avance...

>
>
> Essayes de déduire une majoration de |U(n+p)-U(n)|=|U(n+p)-U(n+p-1)+...
> +U(n+1)-U(n)| pour n fixé (majoration par l'inégalité triangulaire puis
> la somme des termes d'une série géometrique).
>
> La suite étant bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on
> peut en extraire une sous suite qui converge. Soit phi son extractice et
> l sa limite.
>
> Soit epsilon > 0. On peut trouver n tq u(phi(n)) soit à une distance
> inférieure à epsilon/2 de l (pourquoi ? ...). Ensuite, on peut controler
> la distance des autres termes de la suite à ce u(phi(n)) (premier
> paragraphe) et imposer que pour un certain N, n>N implique que la
> distance de u(n) à u(phi(n)) soit inférieure à epsilon/2. Et ainsi ...
>[/color]
Dire que c'est si simple avec les suites de Cauchy...

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

FDH wrote:

> Dire que c'est si simple avec les suites de Cauchy...


Je ne crois pas que la convergence au sens de Cauchy soit au programme
de mpsi.

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

"albert junior" a écrit dans le message
de news: 424aec46$0$13890$636a15ce@news.free.fr...
> FDH wrote:
>[color=green]
>> Dire que c'est si simple avec les suites de Cauchy...

>
> Je ne crois pas que la convergence au sens de Cauchy soit au programme de
> mpsi.[/color]

Il n'y a pas de convergence au sens de Cauchy. On dit qu'une suite réelle
est de Cauchy si |u_q-u_p| tend vers 0 pour p et q infinis, p<q. Les suites
réelles de Cauchy sont exactement les suites réelles convergentes.

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

Bonsoir,

albert junior wrote:

> ultrawave wrote:[color=green]
> > Voila, un exo de niveau MPSI :
> >
> > on a montré avec l'inégalité des accroissements finis que la suite U(n)
> > vérifie :
> >
> > |U(n+1)-U(n)| >
> > En déduire que la suite converge...
> >
> > On a montré précédemment que la suite est bornée dans [0,1] .
> >
> > Je vous donne l'expression de U(n), si ça peut vous aider :
> > U(0)=0
> > U(n+1)=f(U(n)) avec f : x->exp(-k*x^2) , k dans [0,1/2[
> >
> > Voila! merci d'avance...

>
> Essayes de déduire une majoration de |U(n+p)-U(n)|=|U(n+p)-U(n+p-1)+...
> +U(n+1)-U(n)| pour n fixé (majoration par l'inégalité triangulaire puis
> la somme des termes d'une série géometrique).
>
> La suite étant bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on
> peut en extraire une sous suite qui converge. Soit phi son extractice et
> l sa limite.
>
> Soit epsilon > 0. On peut trouver n tq u(phi(n)) soit à une distance
> inférieure à epsilon/2 de l (pourquoi ? ...). Ensuite, on peut controler
> la distance des autres termes de la suite à ce u(phi(n)) (premier
> paragraphe) et imposer que pour un certain N, n>N implique que la
> distance de u(n) à u(phi(n)) soit inférieure à epsilon/2. Et ainsi ...[/color]

Dans la logique du programme de MPSI qui n a ni suites de Cauchy ni
theoreme du point fixe et pousse a eviter au maximum les epsilon il ne s
agit pas de redecouvrir une preuve finalement generale du theoreme du
point fixe à partir de la compacite sequentielle mais plutot s
interesser au cas particulier en jeu ou il est assez simple de voir sur
un graphe de la fonction que les sous suites de rang pair et impair sont
adjacentes et de conclure (comme dans moult autres exercices du cours je
suppose)

Jean-Francois

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

j-f lacarra wrote:

> Dans la logique du programme de MPSI qui n a ni suites de Cauchy ni
> theoreme du point fixe et pousse a eviter au maximum les epsilon il ne s
> agit pas de redecouvrir une preuve finalement generale du theoreme du
> point fixe à partir de la compacite sequentielle mais plutot s
> interesser au cas particulier en jeu ou il est assez simple de voir sur
> un graphe de la fonction que les sous suites de rang pair et impair sont
> adjacentes et de conclure (comme dans moult autres exercices du cours je
> suppose)


Peut-être, mais l'auteur de la question indique lui même ce qui as déjà
été démontré dans le problème et le chemin à suivre. Autant suivre la
voie qu'ouvre l'exercice...

Anonyme

Re: suites

par Anonyme » 30 Avr 2005, 20:25

j-f lacarra wrote:

> Dans la logique du programme de MPSI qui n a ni suites de Cauchy ni
> theoreme du point fixe et pousse a eviter au maximum les epsilon il ne s
> agit pas de redecouvrir une preuve finalement generale du theoreme du
> point fixe à partir de la compacite sequentielle mais plutot s
> interesser au cas particulier en jeu ou il est assez simple de voir sur
> un graphe de la fonction que les sous suites de rang pair et impair sont
> adjacentes et de conclure (comme dans moult autres exercices du cours je
> suppose)
>



Peut-être, mais l'auteur de la question indique lui même ce qui a déjà
été démontré dans le problème et le chemin à suivre. Autant suivre la
voie qu'ouvre l'exercice...

--
message précédent quasiment identique annulé quelques secondes après son
envoi... j'espère à tant

 

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