Toujour le même problème sur les suites (PCSI)

[Anonyme]

bonjour, bloqué dans mon exo, j'auré besoin d'une petite astuce svp !

on définit une suite (Un) par : (avec n différent de 0)
pour tout n différent de 0

U2n = 1 + (n+1)^(-1/2) + 1/(n+1) +1/((n+1)*(n+1)^1/2)
U2n-1=1-1/(n+1)^1/2

je dois montrer que le produit (Pn) converge avec pour n différent de 0 :

Pn = produit de k =1 à n de Uk = U1*U2*...Un

OR dans une question précédente, j'ai montré avec l'aide d'albert que si le
produit (Pn) converge, il est nécessaire que la suite (Un) converge vers 1.
(ms la réciproque est fausse, je ne peut donc pas l'utiliser sinon la démo
auré été facile avec les propiétés des suites extraites !)

[Anonyme]

Frank a écrit:
> bonjour, bloqué dans mon exo, j'auré besoin d'une petite astuce svp !
>
> on définit une suite (Un) par : (avec n différent de 0)
> pour tout n différent de 0
>
> U2n = 1 + (n+1)^(-1/2) + 1/(n+1) +1/((n+1)*(n+1)^1/2)
> U2n-1=1-1/(n+1)^1/2
>
> je dois montrer que le produit (Pn) converge avec pour n différent de 0 :
>
> Pn = produit de k =1 à n de Uk = U1*U2*...Un


As tu calculé le produit U(2n)*U(2n-1) ? j'ai l'impression que ca va se
simplifier...

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
news: 41C9D357.1000309@hotmail.com...
> Frank a écrit:[color=green]
> > bonjour, bloqué dans mon exo, j'auré besoin d'une petite astuce svp !
> >
> > on définit une suite (Un) par : (avec n différent de 0)
> > pour tout n différent de 0
> >
> > U2n = 1 + (n+1)^(-1/2) + 1/(n+1) +1/((n+1)*(n+1)^1/2)
> > U2n-1=1-1/(n+1)^1/2
> >
> > je dois montrer que le produit (Pn) converge avec pour n différent de 0[/color]
:[color=green]
> >
> > Pn = produit de k =1 à n de Uk = U1*U2*...Un
>
>
> As tu calculé le produit U(2n)*U(2n-1) ? j'ai l'impression que ca va se
> simplifier...
>
> --
> albert
>[/color]
Non, ms qu'elle est ton raisonnement ? je ne vois pas où sa peut me mener de
calculer ce produit : merci de m'expliquer stp

je trouve U(2n)*U(2n-1) = 1-1/(n+1)^2

[Anonyme]

Frank a écrit:

> Non, ms qu'elle est ton raisonnement ? je ne vois pas où sa peut me mener de
> calculer ce produit : merci de m'expliquer stp
>
> je trouve U(2n)*U(2n-1) = 1-1/(n+1)^2

Et bien en regroupant deux à deux on trouve :
P(2n) = (1-(1/2)^2)*(1-(1/3)^2)*...*(1-(1/n+1)^2)
et P(2n+1) = P(2n)*u(2n+1)
De plus tu connais (ou tu peux calculer) la limite de u(2n+1) en +oo.
Si tu montres que P(2n) converge, alors tu pourra en déduire la limite
de P(2n+1). Si de plus par le plus grand des hasard u(2n+1) tendait vers
1 alors ces deux limites seraient égales et P(n) convergerait. Pour
montrer que P(2n) converge tu peux par exemple dire qu'il s'agit d'une
suite ..ssante et ..orée .

Cela dit il y avait peut être plus simple que ma factorisation dans
P(2n), mais je n'ai pas trop réflechi au problème.

--
albert

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
news: 41C9E231.8080406@hotmail.com...
> Frank a écrit:
>[color=green]
> > Non, ms qu'elle est ton raisonnement ? je ne vois pas où sa peut me[/color]
mener de[color=green]
> > calculer ce produit : merci de m'expliquer stp
> >
> > je trouve U(2n)*U(2n-1) = 1-1/(n+1)^2
>
> Et bien en regroupant deux à deux on trouve :
> P(2n) = (1-(1/2)^2)*(1-(1/3)^2)*...*(1-(1/n+1)^2)
> et P(2n+1) = P(2n)*u(2n+1)
> De plus tu connais (ou tu peux calculer) la limite de u(2n+1) en +oo.
> Si tu montres que P(2n) converge, alors tu pourra en déduire la limite
> de P(2n+1). Si de plus par le plus grand des hasard u(2n+1) tendait vers
> 1 alors ces deux limites seraient égales et P(n) convergerait. Pour
> montrer que P(2n) converge tu peux par exemple dire qu'il s'agit d'une
> suite ..ssante et ..orée .
>
> Cela dit il y avait peut être plus simple que ma factorisation dans
> P(2n), mais je n'ai pas trop réflechi au problème.
>
> --
> albert
>[/color]
merci pour tout albert !

[Anonyme]

> Pour montrer que P(2n) converge tu peux par exemple dire qu'il s'agit d'une
> suite ..ssante et ..orée .

Heu, attention au vocabulaire : souvent on dit qu'un produit infini (p_n)
de quantites positives est convergeant quand il ne tend ni vers l'infini
*ni vers 0* C'est a dire si la serie somme des Log p_n est convergente.
JQCA,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

> souvent on dit qu'un produit infini (p_n)
> de quantites positives est convergeant quand il ne tend ni vers l'infini
> *ni vers 0*

Quel ane !! : il faut aussi que le produit converge vers a>0

[Anonyme]

Olivier a écrit:

> Heu, attention au vocabulaire : souvent on dit qu'un produit infini (p_n)
> de quantites positives est convergeant quand il ne tend ni vers l'infini
> *ni vers 0* C'est a dire si la serie somme des Log p_n est convergente.

ah ok. Je ne savais pas du tout en fait. Merci de la précision.

--
albert

[Anonyme]

> ah ok. Je ne savais pas du tout en fait. Merci de la précision.

Ben au debut du fil il y avait "si le produit converge alors
Un tend vers 1". Or le produit 0x0x0 etc ne verifie pas cette
propriete ....

Amities,
Olivier