Problème de sommes & suites...

[Anonyme]

Bonjour à tous,

C'est niveau "bonne TS" on va dire : (en fait c'est début MPSI)

On note Sn la suite définie pour tout n naturel positif par :
Sn = Somme( i = 1 à n): i ² (somme des i² de i=1 à n)

On m'a demandé de montrer que Sn = (1/6) * n * (n + 1) * (2n + 1) Ce que
j'ai fait sans problème.

On pose Tn = Somme( i = 1 à n): (-1)^i * i²

(en gros ca nous donne : -1 + 4 - 9 + 16 + ... + (-1)^i * i² )

Je dois trouver une formule du même style que celle de Sn...

Hop je teste de faire Tn + Sn.
Par exemple : (n=4)
Tn + Sn = -1 + 4 - 9 + 16 + 1 + 4 + 9 + 16 = 4 + 16 + 4 + 16 = 40.

Oh, mais ca serait bien : somme(i = 1 à k = 2): 8*i²

Le pb, c'est les bornes de cette somme, j'ai trouvé que Tn + Sn = somme(i =
1 à k = ...): 8*i²

Le seul truc que j'ai pu "pressentir" c'est que k = E(n/2) (E : fonction
partie entiere) mais je suis incapable de formaliser ca... Et encore moins
de le reinjecter dans une formule du style de celle que l'on me demande.
Quelqu'un a une piste, suis-je parti sur une mauvaise voie ?

Si j'arrivais a faire Tn = somme(i = 1 à k = ...): 8*i² - Sn ce serait
facile pour la suite...

Merci d'avance !

[Anonyme]

Je voulais dire naturel strictement positif bien sur ^^

[Anonyme]

Salut,
Tripps écrivait :

> Hop je teste de faire Tn + Sn.

Oui c'est une très bonne idée.

> Par exemple : (n=4)
> Tn + Sn = -1 + 4 - 9 + 16 + 1 + 4 + 9 + 16 = 4 + 16 + 4 + 16 = 40.
>
> Oh, mais ca serait bien : somme(i = 1 à k = 2): 8*i²

Je comprends pas tes notations, il y a deux indices différents i et k
(pareil en dessous).

Je pense que tu avais remarqué que quand tu sommais Tn et Sn, il ne restait
que les termes pairs, au carré, et en double ; c'est-à-dire :

Très grossièrement, sur le brouillon on peut écrire :
Tn + Sn = 2 (2²+4²+6²+...+(2k)²) = 2 « somme des 4k² »
On retrouve bien ta formule.

(Rappel : Un nombre pair s'écrit sous la forme 2k, un nombre impair 2k+1,
où k est un entier relatif)

> Le seul truc que j'ai pu "pressentir" c'est que k = E(n/2) (E :
> fonction partie entiere) mais je suis incapable de formaliser ca...

Juste une petite idée, sépare les cas :
-dans le cas où n est pair, aucun souci tu prends comme indice k de la
somme n/2, qui est bien un entier.
-dans le cas où n est impair, tu remarques Tn+Sn = T(n-1)+S(n-1), car le
dernier terme impair au carré part en faisant la somme, donc tu poses
k=(n-1)/2, qui est bien un entier.

La fonction entière est plus difficile à manipuler, donc à écarter.



Tu devras donc faire deux cas en donnant ta formule pour Tn.

À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Merci beaucoup je m'étais embrouillé moi même ^^