Séries

[Anonyme]

Bonjour,

Un exercice sans doute classique me pose problème : on considère (a_n) une
suite de réels dans ]0,1[, on pose s_n=sum_{k=1}^n (a_k) et
t_n=sum_{k=1}^n (s_k). On veut étudier la convergence de la série de terme
a_n/s_n, puis a_n/t_n.

Bon, le cas ou la série des a_n converge est trivial. Normalement, j'ai
réussi à montrer que a_n/s_n diverge si la série des a_n diverge (on a
sum_{k=1}^n a_k/s_k > ln(s_n)-constante car a_n borné (l'idée vient de la
comparaison avec l'intégrale)). En raffinant un peu, je crois qu'on peut se
passer d'hypothèses sur a_n (mais perdre l'inégalité ci-dessus dans certains
cas).

Je voudrais bien montrer que la série des a_n/t_n converge, mais là ... Pas
d'idée. En tout cas, pour ici, si on ne suppose pas a_n borné, je dirais
qu'à priori, si a_n=ne^(n^2), on a la série des a_n/t_n qui diverge ... Donc
l'hypothèse a_n dans ]0,1[ doit bien jouer ...

Si vous avez des idées ... Merci d'avance