Primitive a trouver

[Anonyme]

Bonsoir ?
Quelqu'un connait la primitive de 1(1+k*cos(x)) et comment la trouver ? ( k est
une constante).
Merci

[Anonyme]

"Marcelcastel" a écrit dans le message de news:
20031123125805.25982.00000829@mb-m05.aol.com...
> Bonsoir ?
> Quelqu'un connait la primitive de 1(1+k*cos(x)) et comment la trouver ?
( k est
> une constante).
> Merci

1*(1+k*cos(x)) ou 1/(1+k*cos(x)) . Pour le premier ,
primitive de 1 est x , primitive de k*cos(x) = k*sin(x).
Primitive = k*sin(x) + x
Sinon pour le deuxieme , c'est pas joli a voir. :p

Gho

[Anonyme]

"Marcelcastel" a écrit dans le message de news:
20031123125805.25982.00000829@mb-m05.aol.com...
> Bonsoir ?
> Quelqu'un connait la primitive de 1(1+k*cos(x)) et comment la trouver ?
( k est
> une constante).
> Merci

Pas simple si on ne connaît pas k plus précisément

L'expression de la primitive dépendra de k

Essaye le changement de variable t=tan(x/2), et utilise
cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2)

Il y a 4 cas à distinguer :
k=-1 : on obtient 1/t^2 à intégrer -> 1/t
k=1: on obtient 1 à intégrer -> t
|k|0) -> arctan t/alpha
|k|>1 : on obtient 1/(t^2-alpha^2) à intégrer -> argth t/alpha ou argcoth
t/alpha

En plus, la primitive ne sera valable que sur un
intervalle ]pi+2k.pi,pi+2(k+1)pi[ (pour que tan(x/2) soit défini)

[Anonyme]

En fait (excusez-moi !)c'est bien :
1/(1+kcos(x)). C'est vrai que c'est assez repugnant a calculer mais en fait
c'est la primitive de: (cos a)/(1+(sina)*(cosx)) que je cherche ( a est une
constante). Quelqu'un a une idee pour trouver cette primitive ?

[Anonyme]

"Marcelcastel" a écrit dans le message de news:
20031123135149.19037.00000811@mb-m18.aol.com...
> En fait (excusez-moi !)c'est bien :
> 1/(1+kcos(x)). C'est vrai que c'est assez repugnant a calculer mais en
fait
> c'est la primitive de: (cos a)/(1+(sina)*(cosx)) que je cherche ( a est
une
> constante). Quelqu'un a une idee pour trouver cette primitive ?

Je delegue la parole a Maple:
rc(x) = racine carré de x .


-rc(k+1)*cos(x) + rc(k-1)*sin(x) - rc(k+1)
Soit A = _________________________________
rc(k+1)*cos(x) + rc(k-1)*sin(x) + rc(k+1)

Primitive = - ln (A) / [ rc(k-1)*rc(k+1) ]

Ne me demande surtout pas d'ou il sort ca, je ne suis qu'en TS . :-p (et je
n'ai pas encore fait les Primitives)

Gho

PS :
plun jolie:

2 * arctanh[ ((k-1)*(tan(x/2)) / rc( k^2 - 1 ) ]
__________________________________
rc( k^2 -1 )

[Anonyme]

c'est la primitive de: (cos a)/(1+(sina)*(cosx)) que je cherche (
> a est une constante). Quelqu'un a une idee pour trouver cette
> primitive ?

utiliser maple :
2*cos(a)/((1+sin(a))*(-1+sin(a)))^(1/2)*arctanh((-
1+sin(a))*tan(1/2*x)/((1+sin(a))*(-1+sin(a)))^(1/2))

[Anonyme]

> En fait (excusez-moi !)c'est bien :
> 1/(1+kcos(x)). C'est vrai que c'est assez repugnant a calculer mais en
> fait c'est la primitive de: (cos a)/(1+(sina)*(cosx)) que je cherche
( a
> est une constante). Quelqu'un a une idee pour trouver cette primitive
?

Tu veux donc calculer les primitives de x --> 1/(1+k*cos(x)) avec k
réel,
|k| inférieur ou égal à un.

On va d'abord traiter les cas dégénérés, qui sont plus faciles : k=-1, 0
ou 1.

k=0 : c'est idiot : les primitives sont de la forme F(x)=x-x0.

Ensuite je suppose que tu connais un peu de trigo (propriétés de la
fonction
tangente, fonctions trigo réciproques et leurs dérivées), ainsi que le
calcul
d'intégrales par changement de variables. Tout ça, c'est du programme de
maths sup ou de DEUG Mias (ou équivalents).

k=1 : en étant un peu malin on voit que 1+cos(x)=2*cos^2(x/2) (pour
|x|<pi).
L'intégrale de 0 à x de 1/(1+cos(x)) dx est aussi celle de
1/2*(1+tan^2(x/2)).
Le changement de variable t=tan(x/2) donne finalement la solution :
F(x)=tan(x/2)+cte

k=-1 : un calcul du même genre (mais dans un autre intervalle !) donne
F(x)=tan(x/2-pi/2)+cte

Remarque : ceci n'est défini que sur certains intervalles. Des
primitives sur
d'autres intervalles existent et doivent se déduire de celles-ci.

Maintenant, le cas plus délicat : |k|<1. Maple dit des choses bien
compliquées,
mais en fait c'est faisable. Tu cherches l'intégrale de dx/(1+k*cos(x))
sur [0,X].
Tu poses le changement de variable classique mais brutal t=tan(x/2),
pour x<X,
X dans [0,pi[.
dx=d(2*arctan(t))=2dt/(1+t^2),
cos(x)=2cos^2(x/2)-1=2/(1+tan^2(x/2))-1=(1-t^2)/(1+t^2),
donc dx/(1+k*cos(x)) est remplacé par
2*dt/((1+k)+(1-k)t^2) (je te laisse vérifier),
tandis que la borne supérieure d'intégration devient tan(X/2).

On pose un deuxième changement de variable, heureusement affine,
s=racine((1-k)/(1+k))*t :
L'intégrale à calculer devient 2/racine(1-k^2) fois l'intégrale, pour s
entre 0 et
racine((1-k)/(1+k))tan(X/2) de ds/(1+s^2) : on reconnaît comme
intégrande
la dérivée de la fonction arctangente : finalement :

F(x)=2/rac(1-k^2)*arctan(rac((1-k)/(1+k))*tan(x/2)) + cte.

C'est tout...

Enfin, presque : tu peux voir que la fonction ci-dessus est définie pour
x dans
]-pi,pi[, mais prolongeable en +/-pi ; puis, en calculant des primitives
dans
d'autres intervalles, tu dois pouvoir faire des recollements. En fait,
l'intégrale de
0 à x de dx/(1+k*cos(x)) est définie pour tout x de R, et est même une
fonction
C^infini ! Je te laisse le soin de regarder les recollements
possibles... Je me
demande aussi s'il n'y a pas moyen de l'exprimer d'une façon plus
sympathique
en passant par les complexes... (et peut-être aussi un calcul via
l'analyse
complexe, mais là c'est plutôt licence-maîtrise).

Enfin, avec k=sin(a), il y a des simplifications immédiates...

--
Jérémie Rocher
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