Primitive trigo

[Anonyme]

salut

comment faire la primitive de f(x) = (cosx*sinx)/(cos^4(x)+sin^4(x))

bioche => chgement de variable u = cosx

donc du = -sinx.dx

=> f(u) = -u.du/((1-u²)² + u^4)

= -1/u^3 * 1/(((1+u²)/u²)² + 1)



posons a = ((1+u²)/u²)²

on a donc da = -2/u^3 du

donc on obtient : 1/2 a' * 1/(1+a²)

qui s'intègre en 1/2 * arctan(a) soit 1/2*arctan((1-cos²x)/cos²x) ou
encore 1/2*arctan(tan²x))


or, selon ma calculatrice, f(x) s'intègre en -arctan(2cos²x - 1 )/2


je ne vois pas mon erreur...

qui la voit ?

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

"Nicolas Aunai" a écrit :

> je ne vois pas mon erreur...
>
> qui la voit ?


j'ajoute que ma calculette me dit que la dérivée de arctan(tan²(x)) =
1/2.(sinx*cosx)/(cos^4(x)+sin^4(x))

alors que pour elle la dérivée de -arctan(2cos²x - 1 )/2 donne :

(-sinx*cosx)/(2*sin²x*cos²x -1)


je ne comprends plus rien....

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

bon


il semblerai que la forme que j'ai trouvé soit une *autre* primitive
que celle que me donne ma calculette, en effet, si I est la primitive
de ma calculette, et J la mienne, alors j'ai J = I + pi/8


qui pourrais m'expliquer pourquoi elle donne cette primitive la ??

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

"Nicolas Aunai" a écrit dans le message de
news:mesnews.12f67d3b.5923e3a4.255.1437@free.fr...
> salut
>
> comment faire la primitive de f(x) = (cosx*sinx)/(cos^4(x)+sin^4(x))
>
> bioche => chgement de variable u = cosx
>
> donc du = -sinx.dx
>
> => f(u) = -u.du/((1-u²)² + u^4)

là on pose v = u²
et une primitive de : - (1/2)*dv/(2*v² - 2*v +1)
soit de : - (1/4)*dv/((v-1/2)² + 1/4)
est bien :
- (1/2)*arctan(2*v -1)
ce qui est aussi ce que donne la calculette.

>
> = -1/u^3 * 1/(((1+u²)/u²)² + 1)
>
le (1 - u²) a été remplacé par (1 + u²)
d'où l'erreur

A.J.

>
> posons a = ((1+u²)/u²)²
>
> on a donc da = -2/u^3 du
>
> donc on obtient : 1/2 a' * 1/(1+a²)
>
> qui s'intègre en 1/2 * arctan(a) soit 1/2*arctan((1-cos²x)/cos²x) ou
> encore 1/2*arctan(tan²x))
>
>
> or, selon ma calculatrice, f(x) s'intègre en -arctan(2cos²x - 1 )/2
>
>
> je ne vois pas mon erreur...
>
> qui la voit ?
>
> --
> Nico,
> http://astrosurf.com/nicoastro
> messenger : nicolas_aunai@hotmail.com
>

[Anonyme]

"A.J." a exposé le 02/11/2003 :
[color=green]
>> => f(u) = -u.du/((1-u²)² + u^4)
>
> là on pose v = u²
> et une primitive de : - (1/2)*dv/(2*v² - 2*v +1)
> soit de : - (1/4)*dv/((v-1/2)² + 1/4)
> est bien :
> - (1/2)*arctan(2*v -1)
> ce qui est aussi ce que donne la calculette.
>
>>
>> = -1/u^3 * 1/(((1+u²)/u²)² + 1)
>>
> le (1 - u²) a été remplacé par (1 + u²)
> d'où l'erreur[/color]


désolé il s'agissait ici d'une faute de frappe, c'était bien un '-' sur
ma feuille, et donc j'ai bien arctan(tan²(x)) en primitive, qui est
apparement ce que donne la calculette ajouté de +pi/8


bon la différence entre les calculs est que je divise par u^4 et que je
fais un autre changement de variable que toi, plus tard, pourquoi alors
ma primitive est égale a la tienne augmentée de pi/8 ??

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
messenger : nicolas_aunai@hotmail.com

[Anonyme]

"Nicolas Aunai" a écrit dans le message de
news:mesnews.12f67d3b.5923e3a4.255.1437@free.fr...
> salut
>
> comment faire la primitive de f(x) = (cosx*sinx)/(cos^4(x)+sin^4(x))
>
> bioche => chgement de variable u = cosx
>
> donc du = -sinx.dx
>
> => f(u) = -u.du/((1-u²)² + u^4)
>
> = -1/u^3 * 1/(((1+u²)/u²)² + 1)
>
> posons a = ((1+u²)/u²)²

a = ((1 - u²)/u²) ²

> on a donc da = -2/u^3 du

???
da = d((1/u² -1)²) = 2*(1/u² - 1)*(-2*du/u^3)

C'est bien différent et explique probablement la divergence de la suite

A.J.

[Anonyme]

A.J. wrote:

> "Nicolas Aunai" a écrit dans le message de
> news:mesnews.12f67d3b.5923e3a4.255.1437@free.fr...
>[color=green]
>>salut
>>
>>comment faire la primitive de f(x) = (cosx*sinx)/(cos^4(x)+sin^4(x))
>>
>>bioche => chgement de variable u = cosx
>>
>>donc du = -sinx.dx
>>
>>=> f(u) = -u.du/((1-u²)² + u^4)
>>
>> = -1/u^3 * 1/(((1+u²)/u²)² + 1)
>>
>>posons a = ((1+u²)/u²)²
>
>
> a = ((1 - u²)/u²) ²
>
>
>>on a donc da = -2/u^3 du
>
>
> ???
> da = d((1/u² -1)²) = 2*(1/u² - 1)*(-2*du/u^3)
>
> C'est bien différent et explique probablement la divergence de la suite[/color]

Je crois qu'il a fait 2 fautes de frappes...
a = ((1 - u²)/u²) = 1/u² - 1
da = -2/u^3 . du

ce qui donnait ensuite la fonction suivante à intégrer :
1/2 * 1/(1+a²).da

On trouve l'arctangente, et en remplaçant les variables, on retrouve bien
le résultat donné : 1/2*arctan((1/cos²x - 1) = 1/2*arctan(tan²x))

Ce qui est "marrant", c'est que les fonctions
A(x) = 1/2*arctan(tan²x)
B(x) = 1/2*arctan(1 - 2cos²x)
ont même dérivée sinx.cosx/(sin^4(x)+cos^4(x)), mais avec A(x) = B(x) + Pi/8

Anh Vu

[Anonyme]

"Anh Vu Tran" avait prétendu :


> Je crois qu'il a fait 2 fautes de frappes...


voilà c'est ça.


> a = ((1 - u²)/u²) = 1/u² - 1
> da = -2/u^3 . du
>
> ce qui donnait ensuite la fonction suivante à intégrer :
> 1/2 * 1/(1+a²).da
>
> On trouve l'arctangente, et en remplaçant les variables, on retrouve bien
> le résultat donné : 1/2*arctan((1/cos²x - 1) = 1/2*arctan(tan²x))
>
> Ce qui est "marrant", c'est que les fonctions
> A(x) = 1/2*arctan(tan²x)
> B(x) = 1/2*arctan(1 - 2cos²x)
> ont même dérivée sinx.cosx/(sin^4(x)+cos^4(x)), mais avec A(x) = B(x) + Pi/8



voila c'est ça.

et ma question était qu'est-ce qui a provoqué l'apparition de cette
constante ?

--
Nico,
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