Primitive

[Anonyme]

bonjour,

dans la définition d'une primitive g d'une fonction f, je lis qu'il faut que
g soit continue même si f est seulement continue par morceaux.
y-a-t-il une raison particulière ? pourquoi ne peut-on pas envisager une
primitive continue par morceaux pour une fonction f continue par morceaux ?
merci de vos réponses !

[Anonyme]

On 2004-12-05, wwbj3 wrote:
> bonjour,
>
> dans la définition d'une primitive g d'une fonction f, je lis qu'il faut que
> g soit continue même si f est seulement continue par morceaux.
> y-a-t-il une raison particulière ? pourquoi ne peut-on pas envisager une
> primitive continue par morceaux pour une fonction f continue par morceaux ?
> merci de vos réponses !

J'ai une petite remarque : il n'y a pas à « envisager » telle ou telle
primitive, vu qu'à une constante près, il n'y en a qu'une le cas échéant.
Le fait est que, si f est continue par morceaux, alors elle admet des
(une) primitive, et que celles-ci sont continues. C'est une propriété,
démontrable, donc il n'y a pas de sens à envisager des primitives qui
n'aient pas cette propriété : il n'y en a simplement pas.

Répondis-je à ta question ?

--
Frédéric

[Anonyme]

wwbj3 a écrit :
> dans la définition d'une primitive g d'une fonction f, je lis qu'il faut que
> g soit continue même si f est seulement continue par morceaux.

Normalement on suppose g dérivable (donc forcément continue) pour que
sa... dérivée soit f.

--
Nico.

[Anonyme]

On 2004-12-05, Nicolas Richard wrote:
> wwbj3 a écrit :[color=green]
>> dans la définition d'une primitive g d'une fonction f, je lis qu'il faut que
>> g soit continue même si f est seulement continue par morceaux.
>
> Normalement on suppose g dérivable (donc forcément continue) pour que
> sa... dérivée soit f.[/color]

Oui enfin, g n'est pas automatiquement dérivable : prendre f(x) = -1 si
x = 0, une des primitives est valeur absolue qui est
continue, en tous points dérivable à droite et à gauche, mais pas
dérivable en 0.

--
Frédéric

[Anonyme]

On 2004-12-05, Nicolas Richard wrote:
> wwbj3 a écrit :[color=green]
>> dans la définition d'une primitive g d'une fonction f, je lis qu'il faut que
>> g soit continue même si f est seulement continue par morceaux.
>
> Normalement on suppose g dérivable (donc forcément continue) pour que
> sa... dérivée soit f.[/color]

[Je supersedes un message ou je ne donnais pas assez d'explications.]

Si l'on ne considère pas que les primitives des fonctions continues, qui
sont automatiquement dérivables en tout point, mais les primitives des
fonctions continues par morceaux, alors on doit s'attendre à des
propriétés plus faibles. En particulier, la perte de la dérivabilité
que l'on peut remplacer, par exemple, par la dérivabilité à gauche (ou à
droite), selon la définition que l'on prend de « primitive ». Et dans
ce cas, on conserve les propriétés fondamentales des primitives.

Par exemple, f(x) = -1 si x 0, n'importe quoi en 0
admet comme primitive les fonctions x -> |x| + C, qui sont dérivables
à droite (et à gauche) en tout point, mais pas dérivables en 0.

--
Frédéric

[Anonyme]

Frederic a écrit :
> Par exemple, f(x) = -1 si x 0, n'importe quoi en 0
> admet comme primitive les fonctions x -> |x| + C, qui sont dérivables
> à droite (et à gauche) en tout point, mais pas dérivables en 0.

Auquel cas, la fonction:
-x - 1 si x = 0

serait également une "primitive" (avec des dérivées prises à droite), et
on perd une propriété qu'on ne voulait sûrement pas perdre (dans les
intégrales). D'où le fait --je suppose-- qu'on demande la continuité. On
peut en profiter pour parler de "dérivée faible", histoire de citer les
mots sans en dire plus.

Mais je persiste à dire qu'usuellement, "primitive" se réfère à une
fonction dérivable qui a la bonne dérivée. Et dès fonction dérivables
ont des dérivées non-continues, ça arrive aussi, on n'est pas obligé de
prendre une fonction non-dérivable pour autant.

--
Nico.

[Anonyme]

Le fait est que, si f est continue par morceaux, alors elle admet des
(une) primitive, et que celles-ci sont continues. C'est une propriété,
démontrable

merci pour ta réponse; peux-tu me donner la démonstration ou la référence
d'un livre la faisant, stp ?

[Anonyme]

On 2004-12-05, wwbj3 wrote:
> Le fait est que, si f est continue par morceaux, alors elle admet des
> (une) primitive, et que celles-ci sont continues. C'est une propriété,
> démontrable
>
> merci pour ta réponse; peux-tu me donner la démonstration ou la référence
> d'un livre la faisant, stp ?

Ben, en fait, la réponse dépend de la définition de « primitive » que
tu as dans ton cours. Mes souvenirs d'analyse sont trop lointains pour
savoir quele définitions sont bonnes. Si tu complètes, j'essaierai de
répondre. Et aussi : précise ton niveau, parce que la réponse risque
d'en dépendre...

[Anonyme]

dans mon cours de spé, il y a : une fonction g est une primitive d'une
foncion continue par morceaux si g est dérivable, de classe C1 par morceaux
et vérifie g'=f en tout point de continuité de f

"Frederic" a écrit dans le message de
news:slrncr8ihb.s84.beal@clipper.ens.fr...
> On 2004-12-05, wwbj3 wrote:[color=green]
> > Le fait est que, si f est continue par morceaux, alors elle admet des
> > (une) primitive, et que celles-ci sont continues. C'est une propriété,
> > démontrable
> >
> > merci pour ta réponse; peux-tu me donner la démonstration ou la[/color]
référence[color=green]
> > d'un livre la faisant, stp ?
>
> Ben, en fait, la réponse dépend de la définition de « primitive » que
> tu as dans ton cours. Mes souvenirs d'analyse sont trop lointains pour
> savoir quele définitions sont bonnes. Si tu complètes, j'essaierai de
> répondre. Et aussi : précise ton niveau, parce que la réponse risque
> d'en dépendre...[/color]