Normes de fonctions

[Anonyme]

Bonjour,

Bon, je suis toujours sur mes normes...

Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est inférieure
à la norme indice 1, à un coefficient près ?

|f|inf <= M * |f|1

Hölder ne m'aide guère, l'inégalité étant dans le mauvais sens...

Quelqu'un a une idée ??

Merci.

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est inférieure
> à la norme indice 1, à un coefficient près ?
>
> |f|inf <= M * |f|1

Il suffit de prendre M = |f|inf/|f|1



Non, sérieusement, je pense que ça sera difficile. Imagine une suite de
fonction style:
f_n = n * chi[0;1/n]

où chi est la fonction caractéristique (qui vaut 1 sur l'ensemble
considéré, 0 ailleurs)

La norme L^1 d'un tel chose c'est évidement n*1/n = 1
La norme L^oo d'une telle bazar c'est évidemment n

Donc il faudrait une constante qui majore n pour tout n. Mais R est
archimédien, donc c'est pas possible.


--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
[color=green]
>>Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est inférieure
>>à la norme indice 1, à un coefficient près ?
>>
>>|f|inf
> Non, sérieusement, je pense que ça sera difficile. Imagine une suite de
> fonction style:
> f_n = n * chi[0;1/n]

Oui, intuitivement, cela me paraît en effet compromis.
Mais j'aimeais bien le prouver... :-/

Merci en tout cas d'avoir participé à la réflexion.

[Anonyme]

Oodini a écrit :

> Hölder ne m'aide guère, l'inégalité étant dans le mauvais sens...

Au fait, puisque je bossais sur l'inélaglité de Hölder, est-il correct
d'écrire des infinis et des 1/0 à l'exposant, où faut-il exprimer cela
epr des limites ?

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Au fait, puisque je bossais sur l'inélaglité de Hölder, est-il correct
> d'écrire des infinis et des 1/0 à l'exposant, où faut-il exprimer cela
> epr des limites ?

Oups je n'avais même pas tiqué là dessus ! La norme L^oo c'est la norme
sup (au sens "presque partout"), ça n'a rien (ou si peu) à voir avec une
intégrale exposant l'infini (maintenant je sais plus trop dans quelles
limites Hölder est valide, vérifie la démonstration, moi mon cerveau est
déjà parti dormir)

PS: je prends très mal le fait que tu ais été poser ta question sur fsm
après avoir vu ma réponse. Mais bien mal t'en as pris puisque le contre
exemple qui t'y a été donné est le même :>

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
> Oodini a écrit :
>[color=green]
>>Au fait, puisque je bossais sur l'inélaglité de Hölder, est-il correct
>>d'écrire des infinis et des 1/0 à l'exposant, où faut-il exprimer cela
>>epr des limites ?
>
>
> Oups je n'avais même pas tiqué là dessus ! La norme L^oo c'est la norme
> sup (au sens "presque partout"), ça n'a rien (ou si peu) à voir avec une
> intégrale exposant l'infini[/color]

Si, je pense que ça a quelque chose à voir.
Qaund on applique la formule générique des normes sur des vecteur, donc
avec des normes finies, on voit bien que si on fait tendre l'indice de
la norme vers l'infini, c'est la plus grande composante qui "écrase" les
autres, d'où le supremum.

> PS: je prends très mal le fait que tu ais été poser ta question sur fsm
> après avoir vu ma réponse. Mais bien mal t'en as pris puisque le contre
> exemple qui t'y a été donné est le même :>

Haha ! Susceptible ?

Vos réponses donnent effectivement bien la solution, mais je ne sais si
elle valable dasn le cadre d'une démonstration. Je cherchais quelque
chose de plus général.
Mais merci tout de même.

[Anonyme]

Oodini a écrit :

> Vos réponses donnent effectivement bien la solution, mais je ne sais si
> elle valable dasn le cadre d'une démonstration. Je cherchais quelque
> chose de plus général.
> Mais merci tout de même.

Pour info, j'ai trouvé dans la série des Monier (Analyse 3, chapitre 1)
la démonstration qui va bien.
Elle utilise peu ou prou la même idée, mais elle est dotée d'une bonne
méthode. Merci pour le raisonnement, néanmoins !

[Anonyme]

Oodini wrote:
> Oodini a écrit :
>[color=green]
>> Hölder ne m'aide guère, l'inégalité étant dans le mauvais sens...
>
>
> Au fait, puisque je bossais sur l'inélaglité de Hölder, est-il correct
> d'écrire des infinis et des 1/0 à l'exposant, où faut-il exprimer cela
> epr des limites ?[/color]

Règle d'or: Ne pas s'amuser avec les notations à moins de sentir
vraiment, vraiment à l'étroit.

Règle d'or: Réfléchir à pourquoi on pose 1<=p<=infini. Parce que lorsque
p<1, la "norme indice p" n'est plus une norme. L'inégalité triangulaire
est mise en défault, et ça a de très fâcheuses conséquences.

Un petit exercice pour te faire réfléchir à la notion. Soit f une
fonction continue positive sur [0,1]. Montrer que

racine p-ième de l'intégrale de f^p tend vers sup(f) quand p tend vers
l'infini.

A priori, cela justifierait la notation norme infinie.

Ensuite quelques remarques. Parlons des espaces l^p de suites. A la
place d'avoir des intégrales, on somme.

Norme p-ième de a_n = Racine p-ième de la somme (l'indice est n) des
|a_n|^p.

Norme infinie = sup a_n (pour n parcourant |N)

Supposons que (f_p) soit une suite de "suites" telle que f_p est dans
l^p. Toutes les f_p sont des suites qui tendent vers 0. Si on suppose de
plus que f_p tendent vers f au sens de la norme infini quand p tend vers
l'infini, alors, tu verras que f est une suite qui tend vers 0.

Le raisonnement à faire est un raisonnement similaire à celui qui permet
d'affirmer que "toute limite uniforme de fonctions continues est continue".

Alors, à ton avis .... Quand on s'intéresse à ces espaces de suites,
l^infini devrait être (pour rendre les définitions jolies)

1) l'espace des suites bornées

2) l'espace des suites qui tendent vers 0 et qui de ce fait sont bornées ?

C'est des questions du même tonneau que 0^0=0 ou 0^0=1 ?

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

Oodini wrote:
> Bonjour,
>
> Bon, je suis toujours sur mes normes...
>
> Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est inférieure
> à la norme indice 1, à un coefficient près ?

> |f|inf C, norme infinie
f ----------> f

est continue. (Tu peux t'en assurer à la main si tu veux).

Reprenons notre suite f_n. Dans l'espace de départ, muni de la norme 1,
elle tend vers 0. Par continuité de phi, elle devrait tendre vers 0 dans
le deuxième espace, muni de la norme infinie. Or sa norme tend vers
l'infini. C'est absurde.
[color=blue]
> Hölder ne m'aide guère, l'inégalité étant dans le mauvais sens...

L'inégalité de Hölder n'est pas une formule magique ...

> Quelqu'un a une idée ??
>
> Merci.

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

Oodini a écrit :
> Pour info, j'ai trouvé dans la série des Monier (Analyse 3, chapitre 1)
> la démonstration qui va bien.

J'ai un peu peur... la démonstration de quoi, au juste? Car, pour être
clair, et si je veux répondre à ta question initiale, je cite:

"Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est
inférieure
à la norme indice 1, à un coefficient près ?"

La réponse est non.

--
Nico.

[Anonyme]

Oodini a exprimé avec précision :
> Vos réponses donnent effectivement bien la solution, mais je ne sais si elle
> valable dasn le cadre d'une démonstration. Je cherchais quelque chose de plus
> général.

As-tu bien conscience que la négation de :
"quelque soit A, A vérifie la propriété P"
est :
"il existe un A qui ne vérifie pas P" ?

Maintenant, si tu montres que :
"quelque soit A, A ne vérifie pas P"
c'est mieux que :
"il existe un A qui ne vérifie pas P".

Nicolas t'a donné un exemple de fonction f qui ne vérifie pas : || f
||_inf <= M * || f ||_1.
C'est un contre-exemple et c'est suffisant, ça réponds bien à ta
question.
Maintenant si tu essayes de montrer que "quelque soit f, f ne vérifie
pas l'inégalité", alors tu vas avoir du mal !

[Anonyme]

Nicolas Richard a écrit :
> Oodini a écrit :
>[color=green]
>>Pour info, j'ai trouvé dans la série des Monier (Analyse 3, chapitre 1)
>>la démonstration qui va bien.
>
> J'ai un peu peur... la démonstration de quoi, au juste? Car, pour être
> clair, et si je veux répondre à ta question initiale, je cite:
>
> "Peut-on prouver que la norme indice infini d'une fonction est
> inférieure à la norme indice 1, à un coefficient près ?"
>
> La réponse est non.[/color]

La démonstration que non.

[Anonyme]

Romain M a écrit :
> Oodini a exprimé avec précision :
>[color=green]
>> Vos réponses donnent effectivement bien la solution, mais je ne sais
>> si elle valable dasn le cadre d'une démonstration. Je cherchais
>> quelque chose de plus général.
>
>
> As-tu bien conscience que la négation de :
> "quelque soit A, A vérifie la propriété P"
> est :
> "il existe un A qui ne vérifie pas P" ?[/color]

Oui.

> Maintenant, si tu montres que :
> "quelque soit A, A ne vérifie pas P"
> c'est mieux que :
> "il existe un A qui ne vérifie pas P".
>
> Nicolas t'a donné un exemple de fonction f qui ne vérifie pas : || f
> ||_inf C'est un contre-exemple et c'est suffisant, ça réponds bien à ta question.
> Maintenant si tu essayes de montrer que "quelque soit f, f ne vérifie
> pas l'inégalité", alors tu vas avoir du mal !

Ce n'est pas ce que je cherchais.
J'ai seulement sans doute un peu été trop exigeant sur la présentation
de la démonstration...
J'ai tellement eu affaire à des profs de maths tatillons que j'ai pris
leurs travers... :-/

Dans l'exemple en question, le Monier partait de:

||f||_inf ||f||_inf / ||f||_1 <= M

Il prend un exemple, calcule les deux normes, puis la limite, puis
montre qu'elle n'est pas bornée.

Même raisonnement, je l'accorde...
Sauf qu'on ne parle pas du caractère archimédien de |R.

Merci néanmoins à Nicols Richard pour son aide, fort utile !