Un exo sur les normes

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai quleuqes difficultés avec l'exercice suivant, pouvez-vous m'aider?

Sachant que P=sum(k=0;n a[k]*X^k), on définit sur l'espace vectoriel des
polynômes R[X] 3 applications:
N1(P)=sum(k=0;n |a[k]|)
N2(P)=(sum(k=0;n a[k]^2)^(1/2)
Ninf(P)=max(k=0...n |a[k]|)

1) Montrer que ces 3 application sont des normes.
Ne n'arrive pas à démontrer les inégalités triangulaires.

2) A l'aide de la suite (P[m])(m) de R[X] où P[m](X)=sum(k=0;m X^k),
montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
Là, je ne sais pas comment faire non plus.

Je sais que pour que 2 normes N1 et N2 soient équivalents, on doit avoir N2
compris entre alpha*N1 et beta*N1 avec 0>alpha>beta, mais je ne vois pas le
rapport avec la suite que l'on nous donne.

Merci d'avance.

Milou

[Anonyme]

On 2003-10-27, Milou wrote:
> Bonjour,

Salut,

> 1) Montrer que ces 3 application sont des normes.
> Ne n'arrive pas à démontrer les inégalités triangulaires.

P=\sum_{k=0}^n a_k X^k
Q=\sum_{k=0}^n b_k X^k
(On peut supposer que les deux polynômes ont même degré.)

\sum_{k=0}^n (|a_k|+|b_k|) t² est convexe sur ]O,oo[.
Soit u et v positif tel que u+v=1
Alors (N2(uP+vP))² = 2) A l'aide de la suite (P[m])(m) de R[X] où P[m](X)=sum(k=0;m X^k),
> montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
> Là, je ne sais pas comment faire non plus.[/color]

Moi j'essaierai par l'absurde: on suppose que les normes sont deux à
deux équivalentes et on regarde ce qu'il se passe avec la suite (P[m]).

Remarque: P[m](m) n'est pas dans R[X] mais dans R...

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