Definition d'une fonction par ses normes

[Anonyme]

Dans l'espace des fonctions continues periodiqus, je definis mes classes
d'equivalence par :
f est equivalente a g si il existe t tel que pour tout x, f(x) = g(x+t)
(donc les fonctions sont identiques a une translation pres).

Je cherche une transformation de mes fonctions pour que 2 fonctions
aient la meme transformee si et seulement si elles appartiennent a la
meme classe.

Fourier ne convient donc pas vraiment.

Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
determiner integralement cette fonction a une translation pres.

Sinon, voyez-vous d'autres operateurs susceptibles de marcher?

Merci.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux wrote:
> Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
> les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
> determiner integralement cette fonction a une translation pres.

Penses que connaitre (1,...,1/p^(1/p),..) te permet de retrouver f(x)=exp(-x) ?
enfin,c'est p'être possible,je sais pas, mais je ne vois pas comment.
c'est une bonne question ça d'ailleurs....

[Anonyme]

Le Fri, 03 Oct 2003 18:20:22 +0200,
Osiris grava à la saucisse et au marteau:

>
>
> Nicolas Le Roux wrote:[color=green]
> > Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
> > les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
> > determiner integralement cette fonction a une translation pres.
>
> Penses que connaitre (1,...,1/p^(1/p),..) te permet de retrouver f(x)=exp(-x) ?
> enfin,c'est p'être possible,je sais pas, mais je ne vois pas comment.
> c'est une bonne question ça d'ailleurs....[/color]

Je suis toujours dans l'espaces des fonctions periodiques hein (dsole de
pas avoir reprecise).

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Le Fri, 3 Oct 2003 16:04:18 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
> les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
> determiner integralement cette fonction a une translation pres.

Bon, on va dire que dans la classe il y aussi g definie par g(x) =
f(a-x) parce que sinon, c'est evident que ca marche pas.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Le Fri, 3 Oct 2003 16:33:22 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
> > les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
> > determiner integralement cette fonction a une translation pres.
>
> Bon, on va dire que dans la classe il y aussi g definie par g(x) =
> f(a-x) parce que sinon, c'est evident que ca marche pas.[/color]

Je sens que je vais aussi devoir me limiter aux fonctions positives ou
nulles

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Le Fri, 3 Oct 2003 16:33:22 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Je me posais alors cette question: est-ce que la connaissance de toutes
> > les normes d'une fonction continue (de L1 jusqu'a L_infini) permet de
> > determiner integralement cette fonction a une translation pres.
>
> Bon, on va dire que dans la classe il y aussi g definie par g(x) =
> f(a-x) parce que sinon, c'est evident que ca marche pas.[/color]

Apparemment, il va y avoir un autre souci, c'est si il existe a et b
tels que f(a) = f(a+b) = f(a+2b). Dans ce cas-la, on va pouvoir echanger
les deux parties [a, a+b] et [a+b, a+2b].

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Le Fri, 3 Oct 2003 16:04:18 +0000 (UTC),
Nicolas Le Roux grava à la saucisse et au marteau:

> Sinon, voyez-vous d'autres operateurs susceptibles de marcher?

Pour ceux que ca interesee, j'ai trouve l'operateur H defini par:

H(f)(k) = F(k)/[F(1)]^k

ou F est la transformee de Fourier, qui marche.

Merci a tous de votre immense aide (et a Xavier pour son soutien
psychologique poutouesque, meme si je n'en suis pas le seul
beneficiaire).

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:48489), a
écrit :
> Merci a tous de votre immense aide (et a Xavier pour son soutien
> psychologique poutouesque, meme si je n'en suis pas le seul
> beneficiaire).

Pas de quoi, pas de quoi.
Si tu as un autre problème, n'hésite pas à demander.

--
Xavier, qui aime bien lire une question sur ce forum en me disant
que c'est intéressant que je vais y réfléchir, puis une minute après
lire la réponse puis deux secondes après lire « Merci Xavier ! ».

[Anonyme]

Le Fri, 3 Oct 2003 19:45:15 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

> Pas de quoi, pas de quoi.
> Si tu as un autre problème, n'hésite pas à demander.

Bah j'ai resolu mon probleme (je vous file meme la solution en dimension
n si ca vous interesse), mais la question des normes m'interesse
toujours.

En gros, quelles classes d'equivalence tu definis par ta suite de
normes?

--
Genji, qui fait marcher Xavier sinon il rouille
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:48493), a
écrit :
> En gros, quelles classes d'equivalence tu definis par ta suite de
> normes?

Ah oui.
Bon, d'accord. Alors déjà disons que c'est à peu près clair que si
limiter aux translations et à la fonction opposé ne suffit pas.
Plus précisément si phi : R -> R (ou phi : R^n -> R^n, hein) est
une bijection mesurable qui conserve le volume (ie pour tout partie
A mesurable phi(A) a le même volume que A), alors les fonctions
phi o f et f vont définir la même suite de normes.

Même s'il m'a l'air vrai que lorsque l'on ne cherche que les phi
continues vérifiant cette condition en dimension 1, on obtient que
les translations et les x |-> a-x, cela n'implique même pas la
propriété que tu voulais pour l'espace des fonctions continues
périodiques en dimension 1. En effet, imagine une fonction continue
périodique à peu près quelconque et prend deux intervalles de même
longueur que tu permutes : si tu fais les choses correctement, tu
peux t'arranger pour que la fonction obtenue au final soit toujours
continue, mais pas forcément une translatée de la première.

Ensuite, il y a un autre changement évident qui est que l'on peut
remplacer f(x) par -f(x) partout où on le souhaite (enfin sur une
partie mesurable, quand même) ; ça ne changera rien à la valeur
absolue. Bref.


Par contre, ça m'a l'air de fonctionner plus raisonnablement si on prend
en compte toutes les transformations autorisées précédemment. Je me
limite encore au cas « continu périodique de dimension 1 » pour un
semblant de preuve.

On commence par discrétiser le problème. On prend donc a_1, ..., a_n
des réels et l'on fixe pour tout q, la quantité |a_1|^q + ... + |a_n|^q.
Si je me rappelle bien mes cours d'algèbre les |a_i| sont alors à
permutation près les n racines d'une équation de degré n ; ils sont
donc déterminés à permutation près... ce qui est bien la solution attendue
dans le cas discret.

Et maintenant, on passe au cas global. Alors pour ça, on remplace les
a_i par des intervalles (tous de même longueur, ça devrait simplifier)
sur lesquels la fonction ne bouge pas trop (pas plus de epsilon fixé
à l'avance). Euh, j'ai pas vérifié, mais ce genre de trucs m'a l'air
tout la fait possible si la fonction f est périodique ; en gros, on se
ramène toujours à des compacts. Et on remplace les |a_i| par la moyenne
de |f| sur l'intervalle correspondant. En faisant tendre epsilon vers 0
et en tenant compte de la continuité, je pense que l'on arrive à
déterminer complètement f aux transformations précédentes près...


Le truc qui précède doit aussi se généraliser en haute dimension, mais
évidemment dans ce cas, il faudra dire que f ~ g si |f| ~ |g| au sens
précédent. On ne pourra certainement pas faire mieux. Il faut encore
trouver l'équivalent de « périodique » ; je pense que le seul truc
raisonnable est d'imposer une périodicité selon un réseau, on pourra
encore ainsi se ramener à un compact comme cela nous a été utile dans
le cas « dimension 1 ».


C'est bon ? Ou ça ne te convient pas tant que ça ?


--
Xavier, que câlins et poutous, hein aussi... Et tiens, Dolphi me dit
de faire passer les siens de câlins et poutous par la même occasion.

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:48479), a
écrit :
> Apparemment, il va y avoir un autre souci, c'est si il existe a et b
> tels que f(a) = f(a+b) = f(a+2b). Dans ce cas-la, on va pouvoir echanger
> les deux parties [a, a+b] et [a+b, a+2b].

Ah zut, j'avais raté ce message... bon, ben, c'est pas grave, en fait

[Anonyme]

Le Sat, 4 Oct 2003 06:28:45 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

> C'est bon ? Ou ça ne te convient pas tant que ça ?

Bah, ça répond à ma question, mais la réponse me déçoit un peu. Mais
pour ce qui est de remplacer f par -f, je ne l'avais pas compté parce
que je voulais prendre la vraie intégrale sur l'intervalle. M'enfin.

Sinon, est-ce que je n'ai pas trop vite remaplcé "fonctions qui ont la
même image" par "classe d'équivalence"? La classe d'équivalence
n'implique-t-elle pas autre chose que simplement créer une partition de
ton ensemble de départ pour avoir une injection?

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

Nicolas Le Roux , dans le message (fr.education.entraide.maths:48517), a
écrit :
> Bah, ça répond à ma question, mais la réponse me déçoit un peu. Mais
> pour ce qui est de remplacer f par -f, je ne l'avais pas compté parce
> que je voulais prendre la vraie intégrale sur l'intervalle. M'enfin.

Bah, soit. Tu fais alors pareil et normalement tu as la même condition
mais sans celle de signe sur f(x). Par contre, je ne vois pas comment
tu peux généraliser ça de façon pas trop crade à des plus grandes
dimensions.

> Sinon, est-ce que je n'ai pas trop vite remaplcé "fonctions qui ont la
> même image" par "classe d'équivalence"? La classe d'équivalence
> n'implique-t-elle pas autre chose que simplement créer une partition de
> ton ensemble de départ pour avoir une injection?

Suis pas sûr de bien comprendre. Mais je crois que la réponse à la
deuxième question est « non ».

[Anonyme]

Le Sat, 4 Oct 2003 20:14:43 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:
[color=green]
> > Sinon, est-ce que je n'ai pas trop vite remaplcé "fonctions qui ont la
> > même image" par "classe d'équivalence"? La classe d'équivalence
> > n'implique-t-elle pas autre chose que simplement créer une partition de
> > ton ensemble de départ pour avoir une injection?
>
> Suis pas sûr de bien comprendre. Mais je crois que la réponse à la
> deuxième question est « non ».[/color]

Bah en fait, les 2 seuls fois où je me rappelle avoir vu les classes
d'équivalence en prépa, c'était pour Z/pZ et les normes de fonctions non
continues. Mais dans les 2 cas, si tu soustrayais 2 éléments d'une même
classe, l'élément résultant appartenait à la même classe que 0, ce qui
n'est pas le cas dans mon exemple. Donc je me demandais si c'était une
caractéristique des classes d'équivalence que tous les éléments d'une
même classe soient égaux à un élément de la classe nulle près.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard

[Anonyme]

On peut parler de classe d'équivalence dès que l'on a un ensemble sur
lequel on a défini une relation d'équivalence. Je te rappelle qu'une
relation d'équivalence sur un ensemble E, c'est un truc qui vérifie :
i) (réflexivité) x ~ x
ii) (symétrie) si x ~ y alors y ~ x
iii) (transitivité) si x ~ y et y ~ z, alors x ~ z

Dès que l'on a ça, on considère, pour tout x de E, ce que l'on appelle
la classe de x, que je vais noter Cl(x), et qui est définie comme
l'ensemble des éléments y de E tels que x ~ y. Les axiomes i), ii) et
iii) prouve qu'en fait les Cl(x) forment une partition de E : aucun
n'est vide et si Cl(x) rencontre Cl(y), alors il y a égalité (ce qui
est immédiat). L'ensemble de ces classes d'équivalence est ce que l'on
appelle l'ensemble quotient et que l'on note E/~. Bref.


Maintenant, ce dont on peut avoir envie c'est « transporter » les
diverses structures que l'on avait sur E sur l'ensemble quotient. Par
exemple si E était un groupe, on aimerait définir un loi de groupe sur
E/~. L'idée pour additionner Cl(x) et Cl(y) est de prendre un élément
de Cl(x), par exemple x, un de Cl(y), par exemple y, d'additionner ces
deux éléments et de regarder la classe de la somme. On poserait donc
bêtement :
Cl(x) + Cl(y) = Cl(x+y)
mais pour faire ça, il faut faire attention à ce que le résultat ne
dépende pas des éléments choisis dans nos classes (on parle de repré-
sentants).

Dans le cas des groupes, il y a à peu près un seul cas où ça marche. Il
faut déjà que Cl(e) soit un sous-groupe distingué de E et que la relation
soit précisément :
x ~ y ssi x-y in Cl(e)
(Bon, j'ai pris une notation additive, ce qui n'est vraiment pas adroit
puisque le groupe peut ne pas être commutatif).

On dit alors que l'on a quotienté G par le sous-groupe Cl(e). Je suppose
que tu connais déjà bien tout ça, mais bon.


De même ensuite, on a peut-être envie de quotienter des espaces vecto-
riels, réels disons dans un premier temps. Là, encore on a une condition
du même genre. Il faut :
Cl(0) sous-espace vectoriel
x ~ y ssi x-y in Cl(0)
On quotient ici par un sous-espace vectoriel.

Si tu sais ce qu'est un module (je suppose que oui -- et sinon, sans
rentrer dans les détails, c'est juste un espace vectoriel mais sur un
anneau qui n'est pas forcément un corps), on peut faire exactement
pareil : on quotiente par des sous-modules. Si A est un anneau, c'est
canoniquement un A-module (de la même façon que R est un R-ev), mais
ici, il admet des sous-modules non triviaux ; c'est précisément les
idéaux. Et c'est ainsi que l'on a le droit de quotienter un anneau
par un idéal. On obtient ainsi un module (le module quotient) qui hérite
en outre d'une structure d'anneau dans ce cas particulier.


Z/pZ c'est exactement le cas des groupes, ou celui des anneaux si tu
veux garder en plus la structure multiplicative. Les fonctions modulo
« l'égalité presque partout », c'est le cas des espaces vectoriels.
Ici, E est l'ensemble des fonctions mesurables disons de R dans R et
le sous-espace vectoriel F est celui des fonctions nulles presque
partout. C'est évidemment un sous-espace... et donc on peut considérer
le quotient E/F. En tant qu'espace vectoriel, c'est ainsi que l'on
obtient les L_p ; ensuite, on rajoute les normes qui vont bien mais on
a déjà rien qu'en disant ça, on a déjà la structure de R-espace
vectoriel.

(Après, il y a plein de variantes, on peut quotienter des espaces de
Banach par des sous-espaces vectoriels fermés, etc... mais bon passons).


Bref, tout ça pour dire que c'est vrai que très souvent on quotiente
par des sous-objets plus que par des relations d'équivalence, mais il
ne faut pas oublier qu'à l'origine, c'est la même chose. Le fait de
quotienter par des sous-objets permet de conserver la strcture (de
rester dans la catégorie (abélienne) si tu sais ce que ça veut dire).


Mais ici, la relation d'équivalence que tu donnais (définir la même
suite de normes pour les L_p) n'était pas de la forme précédente et
donc on ne peut pas récupérer de structure à la fin. Je ne dis pas
que c'était la chose à faire ; il aurait peut-être été préférable de
modifier légérement la relation d'équivalence, mais ici ça ne me
semblait ni évident ni judicieux. Bon, je sais pas.


--
Xavier, qui suis sûr que tu savais à peu près déjà tout ce que je
viens de dire, mais qui préfère en dire plus pour pas que l'on ne
m'en redemande ensuite.

[Anonyme]

Le Sun, 5 Oct 2003 08:37:05 +0000 (UTC),
Xavier Caruso grava à la saucisse et au marteau:

>Xavier, qui suis sûr que tu savais à peu près déjà tout ce que je
>viens de dire, mais qui préfère en dire plus pour pas que l'on ne
>m'en redemande ensuite.

Pas tant que ca. Merci beaucoup en tout cas.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard