Logarithme complexe?

[Anonyme]

Bonjour,

Dans un exo sur l'exponentielle matricielle, où on travaille avec une matrice A
complexe, un moment on voir apparaitre l'expression ln(1+Tr(A)+...)

Mais Tr(A) est complexe, ça me perturbe de voir le logarithme d'un nombre
complexe...??

[Anonyme]

Wenceslas wrote:

> Bonjour,
>
> Dans un exo sur l'exponentielle matricielle, où on travaille avec une
> matrice A complexe, un moment on voir apparaitre l'expression
> ln(1+Tr(A)+...)
>
> Mais Tr(A) est complexe, ça me perturbe de voir le logarithme d'un nombre
> complexe...??

Et pourtant il existe!

En fait, "il" est faux, mais plutot "ils existent" car le log n'est pas
unique sur C.

C'est tout simplement une fonction telle que exp(Log(z)) = z, sur un certain
ouvert de C (avec exp(z) = sum(z^n/n!)..).

Un exemple sur le cercle unité est z |-> i*arg(z) où arg(z) est l'unique
argument de z dans [0,2*Pi[.

Un autre serait Log + 2*Pi, etc..


Quand à ton exo, cela me parait etrange de parler du log complexe si
justement on a pas défini lequel avant...


--
Romain

[Anonyme]

> Un exemple sur le cercle unité est z |-> i*arg(z) où arg(z) est l'unique
> argument de z dans [0,2*Pi[.

Non! Il faut enlever un point pour que ce soit continu.
En général on définit le log sur C\R-, avec log(1)=1.
Mais on ne peut pas vraiment faire mieux.

--
Maxi

[Anonyme]

navilys2001@aol.com (Wenceslas) wrote:

>Bonjour,
>
>Dans un exo sur l'exponentielle matricielle, où on travaille avec une matrice A
>complexe, un moment on voir apparaitre l'expression ln(1+Tr(A)+...)
>
>Mais Tr(A) est complexe, ça me perturbe de voir le logarithme d'un nombre
>complexe...??
>
>
>
Ecrire le complexe sous forme exponentielle: z=r*exp(i*theta), où r
est le module et theta l'argument.
Alors ln(r*exp(i*theta))=ln(r)+ln(exp(i*theta)) = ln(r)+i*theta, ln(r)
est la partie réelle, et i*theta la partie imaginaire.
Maintenant, comme il a été dit, il y a en une infinité sous la forme
ln(r)+i(theta+2*k*pi), k entier, celle où k=0 est appelée valeur
principale.

[Anonyme]

Am 11/01/04 20:04, sagte Wenceslas (navilys2001@aol.com) :

> Bonjour,
>
> Dans un exo sur l'exponentielle matricielle, où on travaille avec une matrice
> A
> complexe, un moment on voir apparaitre l'expression ln(1+Tr(A)+...)
>
> Mais Tr(A) est complexe, ça me perturbe de voir le logarithme d'un nombre
> complexe...??
>

je me permet de te conseiller de lire la fin d'un thread intitulé "Racine
carrée d'un nombre complxe", qui date du début des vacances ici même avec
des participations très instructives notemment de Medhi Tibouchi.
Google devrais t'aider sans problèmes...


albert

--
Break on through to the other side.