En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
TI 89 à la limite, maple celà me semble bizarre mais quand je trouve ça :
http://www.lodyc.jussieu.fr/~dinnat/These/HTML/plan_htmlse29.html
http://membres.lycos.fr/alkashi/complexes.htm
je me pose des questions, alors qu'en est-il ?
Racine carré d'un nombre complexe
35 messages
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Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:26
"Quark" a écrit dans le message de
news:3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
> démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
> cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
> n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
> donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
> renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
>
> TI 89 à la limite, maple celà me semble bizarre mais quand je trouve ça :
>
> http://www.lodyc.jussieu.fr/~dinnat/These/HTML/plan_htmlse29.html
>
> http://membres.lycos.fr/alkashi/complexes.htm
>
> je me pose des questions, alors qu'en est-il ?
>
Oui on peut définir une racine carrée d'un nombre complexe, mais elle n'est
pas forcément unique.
news:3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
> démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
> cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
> n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
> donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
> renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
>
> TI 89 à la limite, maple celà me semble bizarre mais quand je trouve ça :
>
> http://www.lodyc.jussieu.fr/~dinnat/These/HTML/plan_htmlse29.html
>
> http://membres.lycos.fr/alkashi/complexes.htm
>
> je me pose des questions, alors qu'en est-il ?
>
Oui on peut définir une racine carrée d'un nombre complexe, mais elle n'est
pas forcément unique.
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:26
James a écrit:
> "Quark" a écrit dans le message de
> news:3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
>[color=green]
>>En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
>>carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
>>démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
>>cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
>>n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
>>donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
>>renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
>>
>>TI 89 à la limite, maple celà me semble bizarre mais quand je trouve ça :
>>
>>http://www.lodyc.jussieu.fr/~dinnat/These/HTML/plan_htmlse29.html
>>
>>http://membres.lycos.fr/alkashi/complexes.htm
>>
>>je me pose des questions, alors qu'en est-il ?
>>
>
>
> Oui on peut définir une racine carrée d'un nombre complexe, mais elle n'est
> pas forcément unique.
>
>[/color]
oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
> "Quark" a écrit dans le message de
> news:3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
>[color=green]
>>En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
>>carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
>>démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
>>cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
>>n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
>>donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
>>renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
>>
>>TI 89 à la limite, maple celà me semble bizarre mais quand je trouve ça :
>>
>>http://www.lodyc.jussieu.fr/~dinnat/These/HTML/plan_htmlse29.html
>>
>>http://membres.lycos.fr/alkashi/complexes.htm
>>
>>je me pose des questions, alors qu'en est-il ?
>>
>
>
> Oui on peut définir une racine carrée d'un nombre complexe, mais elle n'est
> pas forcément unique.
>
>[/color]
oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Bonjour,
Quark écrivait :
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la
> racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> négatif.
Ca existe, y'en a même deux. Je suis surpris que ta prof dit que
non.
On le définit comme pour les réels.
Une racine carré(e?) du complexe z est un nombre complexe a tel que
a^2 = z.
En posant z et a en forme algébrique, ou z et a en forme polaire,
on prouve facilement l'existence de a, dont l'expression est donnée
par les solutions de l'équation.
Pour une recherche pratique de a on procède comme suit :
Par exemple, si a=r.e^it et z=Re^iT.
on doit avoir r^2.e^(2it)=Re^iT
r^2=R et 2t=T mod2Pi
r=sqrt(R) et t=T/2 [Pi]
car r est positif
(l'autre racine est à exclure)
Les deux racines carré de z sont donc sqrt(R).e^i(T/2) et sqrt
(R).e^i(T/2+Pi).
Par la méthode algébrique on fait de même, avec une petite astuce
dans la résolution en utilisant x^2+y^2=X^2+Y^2 (égalité des
modules) en ayant a=x+iy et z=X+iY.
a^2 = z
x²-y²=X, 2xy=Y (en identifiant Re et Im)
et x^2+y^2=X^2+Y^2
système facilement résolvable en x et en y.
On peut même généraliser ça à la puissance nième d'un nombre
complexe.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Quark écrivait :
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la
> racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> négatif.
Ca existe, y'en a même deux. Je suis surpris que ta prof dit que
non.
On le définit comme pour les réels.
Une racine carré(e?) du complexe z est un nombre complexe a tel que
a^2 = z.
En posant z et a en forme algébrique, ou z et a en forme polaire,
on prouve facilement l'existence de a, dont l'expression est donnée
par les solutions de l'équation.
Pour une recherche pratique de a on procède comme suit :
Par exemple, si a=r.e^it et z=Re^iT.
on doit avoir r^2.e^(2it)=Re^iT
r^2=R et 2t=T mod2Pi
r=sqrt(R) et t=T/2 [Pi]
car r est positif
(l'autre racine est à exclure)
Les deux racines carré de z sont donc sqrt(R).e^i(T/2) et sqrt
(R).e^i(T/2+Pi).
Par la méthode algébrique on fait de même, avec une petite astuce
dans la résolution en utilisant x^2+y^2=X^2+Y^2 (égalité des
modules) en ayant a=x+iy et z=X+iY.
a^2 = z
x²-y²=X, 2xy=Y (en identifiant Re et Im)
et x^2+y^2=X^2+Y^2
système facilement résolvable en x et en y.
On peut même généraliser ça à la puissance nième d'un nombre
complexe.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
J'oubliais, si tout ça te semble un peu barbare, essaye de calculer a
avec des complexes simples comme z=1+i pour t'en convaincre.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
avec des complexes simples comme z=1+i pour t'en convaincre.
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Quark" a écrit dans le message de
news:3FE89F01.4090000@hotmail.com...
> James a écrit:
> oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
> pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
>
Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
racines carrées de ce nombre complexe.
Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
histoire de vocabulaire que de mathématiques.
Salut
--
"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera
news:3FE89F01.4090000@hotmail.com...
> James a écrit:
> oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
> pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
>
Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
racines carrées de ce nombre complexe.
Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
histoire de vocabulaire que de mathématiques.
Salut
--
"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Quark" a écrit dans le message de news:
3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe
Le problème vient de l'interprétation du mot "racine carrée".
Dans R, pas de problème : tout réel positif a est le carré de deux réels
opposés. On décide de nommer racine(a) celui des deux qui est positif. On
définit donc sans ambiguïté une fonction de R+ dans R+.
Un complexe est aussi le carré de deux complexes opposés. Plus précisément,
si le complexe z s'écrit sous forme trigonométrique [rho, théta] (rho est le
module, théta est un argument), il est le carré de [racine(rho), théta/2] et
de son opposé [racine(rho), théta/2 + Pi].
Le problème que soulève est votre professeur est : comment décider lequel
des deux sera "racine(z)" ? On n'a pas comme dans R une relation d'ordre qui
permettrait d'en privilégier un par rapport à l'autre. On ne peut donc pas
définir de manière rigoureuse une fonction racine carrée. Ce qui n'empêche
pas la TI-89 de retourner une "racine carrée de z", c'est-à-dire un complexe
dont le carré est z. Les concepteurs de la calculatrice ont nécessairement
fait un choix, peut-être précisé dans le mode d'emploi, quelque part dans
leur algorithme pour décider lequel des deux il retourne.
Daniel
3FE89D7C.7090809@hotmail.com...
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe
Le problème vient de l'interprétation du mot "racine carrée".
Dans R, pas de problème : tout réel positif a est le carré de deux réels
opposés. On décide de nommer racine(a) celui des deux qui est positif. On
définit donc sans ambiguïté une fonction de R+ dans R+.
Un complexe est aussi le carré de deux complexes opposés. Plus précisément,
si le complexe z s'écrit sous forme trigonométrique [rho, théta] (rho est le
module, théta est un argument), il est le carré de [racine(rho), théta/2] et
de son opposé [racine(rho), théta/2 + Pi].
Le problème que soulève est votre professeur est : comment décider lequel
des deux sera "racine(z)" ? On n'a pas comme dans R une relation d'ordre qui
permettrait d'en privilégier un par rapport à l'autre. On ne peut donc pas
définir de manière rigoureuse une fonction racine carrée. Ce qui n'empêche
pas la TI-89 de retourner une "racine carrée de z", c'est-à-dire un complexe
dont le carré est z. Les concepteurs de la calculatrice ont nécessairement
fait un choix, peut-être précisé dans le mode d'emploi, quelque part dans
leur algorithme pour décider lequel des deux il retourne.
Daniel
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Jean.Pellegri a écrit:
> "Quark" a écrit dans le message de
> news:3FE89F01.4090000@hotmail.com...
>[color=green]
>>James a écrit:
>>oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
>>pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
>>
>
>
>
> Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
> positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
> carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
>
> Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
>
> On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
> racines carrées de ce nombre complexe.
>
> Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
> histoire de vocabulaire que de mathématiques.
>
> Salut
>[/color]
elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
Je lui ai donc répondu une réponse proche de michel, mais elle me dit
que par définition c'est impossible parce que ce que l'on met sous la
racine n'est ni positif ni négatif, il n'y à aucun moyen de comparer 2
complexes de forme x+iy ; (x,y)EURIR*²
> "Quark" a écrit dans le message de
> news:3FE89F01.4090000@hotmail.com...
>[color=green]
>>James a écrit:
>>oui, il y en as 2 car (-1)^2 = 1 mais on peut la définir, comment
>>pourrait-t-on le prouver avec des outils de TS ?
>>
>
>
>
> Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
> positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
> carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
>
> Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
>
> On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
> racines carrées de ce nombre complexe.
>
> Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
> histoire de vocabulaire que de mathématiques.
>
> Salut
>[/color]
elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
Je lui ai donc répondu une réponse proche de michel, mais elle me dit
que par définition c'est impossible parce que ce que l'on met sous la
racine n'est ni positif ni négatif, il n'y à aucun moyen de comparer 2
complexes de forme x+iy ; (x,y)EURIR*²
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Quark" a écrit dans le message de
news:3FE8A519.1040708@hotmail.com...
> elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
> comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
>
>
On évite en général la notation sqrt(-1). Cette notation était utilisée
il y a fort longtemps. Mais depuis l'introduction du symbole i, elle est
devenue inutile et peut prêter à confusion.
La notation z^(1/2) est possible mais correspond à DEUX nombres
complexes. Cette notation ne définit pas une fonction (à moins de rajouter
des conditions).
Le logiciel Mathematica choisit ce qu'il appelle la "solution principale"
ou quelque chose comme ça:
(-9)^(1/2) = 3*i
(3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
Salut
news:3FE8A519.1040708@hotmail.com...
> elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
> comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
>
>
On évite en général la notation sqrt(-1). Cette notation était utilisée
il y a fort longtemps. Mais depuis l'introduction du symbole i, elle est
devenue inutile et peut prêter à confusion.
La notation z^(1/2) est possible mais correspond à DEUX nombres
complexes. Cette notation ne définit pas une fonction (à moins de rajouter
des conditions).
Le logiciel Mathematica choisit ce qu'il appelle la "solution principale"
ou quelque chose comme ça:
(-9)^(1/2) = 3*i
(3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
Salut
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Jean.Pellegri" a écrit dans le message de
news:bsa9hg$916$1@news-reader3.wanadoo.fr...
>
>
> (-9)^(1/2) = 3*i
>
> (3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
>
> Salut
>
Naturellement il y a aussi -3*i et -(2 + i). Attention
--
"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera
news:bsa9hg$916$1@news-reader3.wanadoo.fr...
>
>
> (-9)^(1/2) = 3*i
>
> (3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
>
> Salut
>
Naturellement il y a aussi -3*i et -(2 + i). Attention
--
"fortitudo mea in rota"
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Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Jean.Pellegri" a écrit dans le message de
news:bsa9r5$2i1$1@news-reader5.wanadoo.fr...
>
> (-9)^(1/2) = 3*i
>
> (3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
>
>
Je crois que Mathematica choisit tout simplement la racine dont l'argument
est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
ce qui est tout à fait classique (argument principal).
--
"fortitudo mea in rota"
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news:bsa9r5$2i1$1@news-reader5.wanadoo.fr...
>
> (-9)^(1/2) = 3*i
>
> (3 + 4*i)^(1/2) = 2 + i
>
>
Je crois que Mathematica choisit tout simplement la racine dont l'argument
est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
ce qui est tout à fait classique (argument principal).
--
"fortitudo mea in rota"
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Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
> Je crois que Mathematica choisit tout simplement la racine dont l'argument
> est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
> ce qui est tout à fait classique (argument principal).
Oui, c'est comme ca qu'on peut définir le logarithme d'un nombre complexe
> est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
> ce qui est tout à fait classique (argument principal).
Oui, c'est comme ca qu'on peut définir le logarithme d'un nombre complexe
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Antoine" a écrit dans le message de
news:3fe8ae03$0$19282$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Je crois que Mathematica choisit tout simplement la racine dont[/color]
l'argument[color=green]
> > est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
> > ce qui est tout à fait classique (argument principal).
>
> Oui, c'est comme ca qu'on peut définir le logarithme d'un nombre complexe
>
>
>[/color]
En effet , Log(z) = Log[|z|] + Arg(z) pour z non nul.
C'est ce qu'écrit Mathematica (qui, par défaut, travaille dans l'ensemble
des nombres complxes)
--
"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera
news:3fe8ae03$0$19282$626a54ce@news.free.fr...[color=green]
> > Je crois que Mathematica choisit tout simplement la racine dont[/color]
l'argument[color=green]
> > est dans l'intervalle ]-pi/2 , pi/2],
> > ce qui est tout à fait classique (argument principal).
>
> Oui, c'est comme ca qu'on peut définir le logarithme d'un nombre complexe
>
>
>[/color]
En effet , Log(z) = Log[|z|] + Arg(z) pour z non nul.
C'est ce qu'écrit Mathematica (qui, par défaut, travaille dans l'ensemble
des nombres complxes)
--
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Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
> En effet , Log(z) = Log[|z|] + Arg(z) pour z non nul.
> C'est ce qu'écrit Mathematica (qui, par défaut, travaille dans l'ensemble
> des nombres complexes)
>
> --
Erratum : oubli de i
lire : Log(z) = Log[|z|] + i*Arg(z)
>
> "fortitudo mea in rota"
> F - 93100 Montreuil
> I - 54023 Filattiera
>
>
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Le 23 Dec 2003 20:09:15 GMT
Michel écrivit:
> Bonjour,
>
> Quark écrivait :[color=green]
> > En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir *la*
> > racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> > particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> > reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> > pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> > négatif.
>
> Ca existe, y'en a même *deux*. Je suis surpris que ta prof dit que
> non.[/color]
Parler de *la* racine carrée d'un nombre complexe et dire qu'il y en a
deux, c'est totalement incohérent.
Il n'y a même pas besoin de savoir ce qu'est un nombre complexe ou une
racine carrée pour dire ça. Aucune chose sur cette terre ne peut être à
la fois singulier et pluriel.
JJR.
Michel écrivit:
> Bonjour,
>
> Quark écrivait :[color=green]
> > En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir *la*
> > racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> > particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> > reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> > pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> > négatif.
>
> Ca existe, y'en a même *deux*. Je suis surpris que ta prof dit que
> non.[/color]
Parler de *la* racine carrée d'un nombre complexe et dire qu'il y en a
deux, c'est totalement incohérent.
Il n'y a même pas besoin de savoir ce qu'est un nombre complexe ou une
racine carrée pour dire ça. Aucune chose sur cette terre ne peut être à
la fois singulier et pluriel.
JJR.
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
"Jean-Jacques Rétorré" a écrit dans le message de
news:20031223221149.43379216.jj.retorre@ouanadoulp.fr...
> Le 23 Dec 2003 20:09:15 GMT
> Michel écrivit:
>[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Quark écrivait :[color=darkred]
> > > En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir *la*
> > > racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> > > particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> > > reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> > > pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> > > négatif.
> >
> > Ca existe, y'en a même *deux*. Je suis surpris que ta prof dit que
> > non.[/color]
>
> Parler de *la* racine carrée d'un nombre complexe et dire qu'il y en a
> deux, c'est totalement incohérent.
> Il n'y a même pas besoin de savoir ce qu'est un nombre complexe ou une
> racine carrée pour dire ça. Aucune chose sur cette terre ne peut être à
> la fois singulier et pluriel.[/color]
mmh c'etait un abus de langage, disons alors qu'il existe des racines
carrées... mais sinon la remarque ne sert a rien mathématiquement parlant
news:20031223221149.43379216.jj.retorre@ouanadoulp.fr...
> Le 23 Dec 2003 20:09:15 GMT
> Michel écrivit:
>[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Quark écrivait :[color=darkred]
> > > En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir *la*
> > > racine carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas
> > > particulier et une démonstration (un peu bancale je le
> > > reconnais) ; elle me dit que non, cette racine carrée n'existe
> > > pas et ne peut exister car un complexe n'est ni positif ni
> > > négatif.
> >
> > Ca existe, y'en a même *deux*. Je suis surpris que ta prof dit que
> > non.[/color]
>
> Parler de *la* racine carrée d'un nombre complexe et dire qu'il y en a
> deux, c'est totalement incohérent.
> Il n'y a même pas besoin de savoir ce qu'est un nombre complexe ou une
> racine carrée pour dire ça. Aucune chose sur cette terre ne peut être à
> la fois singulier et pluriel.[/color]
mmh c'etait un abus de langage, disons alors qu'il existe des racines
carrées... mais sinon la remarque ne sert a rien mathématiquement parlant
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Am 23/12/03 20:54, sagte Quark (quark116@hotmail.com) :
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
> démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
> cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
> n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
> donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
> renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
pff la Ti ...
demande à ta Ti de te tracer racine(x), ou ln(x) ...
ou encore de te calculer la valeur absolue de 1/0 ...
albert
--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)
(enlevez les *** pour me répondre en privé)
> En classe j'ai soutenu à ma prof que l'on pouvait définir la racine
> carré d'un nombre complexe, notamment avec un cas particulier et une
> démonstration (un peu bancale je le reconnais) ; elle me dit que non,
> cette racine carrée n'existe pas et ne peut exister car un complexe
> n'est ni positif ni négatif. Je lui ais montré les résultat ebtenu en
> donnat (x+iy)^1/2 à ma TI89 et la mêm chose à maple, les 2 m'ont
> renvoyés des résultats, elle dit que ce doit être une erreur.
pff la Ti ...
demande à ta Ti de te tracer racine(x), ou ln(x) ...
ou encore de te calculer la valeur absolue de 1/0 ...
albert
--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)
(enlevez les *** pour me répondre en privé)
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Am 23/12/03 21:15, sagte Jean.Pellegri (Jean.Pellegri@wanadoo.fr) :
> Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
> positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
> carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
plus que ca : il ne s'agit pas (du moins dans le secondaire) d'un sous
entendu, mais d'une définition, et que dirait un professeur s'il entendait
parler de "racine carrée négative"
d'ailleurs dans notre cours sur les complexes j'ai toujours entendu : i le
nombre dont le carré est -1 et jamais i racine carrée de -1
> Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
>
> On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
> racines carrées de ce nombre complexe.
>
> Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
> histoire de vocabulaire que de mathématiques.
je crois aussi, mais je dirais aussi qu'elle a raison...
albert
--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)
(enlevez les *** pour me répondre en privé)
> Dans l'enseignement secondaire, lorsque l'on dit "racine carrée" d'un réel
> positif, on sous-entend ordinairement la "racine carrée positive" (la racine
> carrée de 9 est 3). Or il y a aussi la racine carrée négative (ici -3)
plus que ca : il ne s'agit pas (du moins dans le secondaire) d'un sous
entendu, mais d'une définition, et que dirait un professeur s'il entendait
parler de "racine carrée négative"
d'ailleurs dans notre cours sur les complexes j'ai toujours entendu : i le
nombre dont le carré est -1 et jamais i racine carrée de -1
> Tout nombre complexe admet deux racines carrées, trois racines cubiques, ...
>
> On ne parle donc pas de LA racine carrée d'un nombre complexe mais des DEUX
> racines carrées de ce nombre complexe.
>
> Je crois que dans cette discussion avec le prof., il s'agit plus d'une
> histoire de vocabulaire que de mathématiques.
je crois aussi, mais je dirais aussi qu'elle a raison...
albert
--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)
(enlevez les *** pour me répondre en privé)
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
Quark a écrit dans le message ...
>elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
>comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
>
-1= (sqrt(-1))^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt((-1)^2)=sqrt(1)=1
en appliquant les règles classiques sur les racines
Cela pose problème
a+
>elle dit que l'on à pas le droit d'écrire i=sqrt(-1) car i est définit
>comme étant le nombre dont le carré est égale à -1.
>
-1= (sqrt(-1))^2=sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt((-1)*(-1))=sqrt((-1)^2)=sqrt(1)=1
en appliquant les règles classiques sur les racines
Cela pose problème
a+
Re: Racine carré d'un nombre complexe
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:27
je profite de ce fil pour poser une autre question :
comment définit-on la puissance d'un nombre négatif ?
en effet, dans le programme de TS on nous explique la notation a^b=
e^(b*lna) ce qui implique a positif
nous sommes quelques uns à nous être posé la question de ce qu'il en était
pour les cas où a est négatif, puisque on croise couramment -3 au carré par
exemple
alors j'avais pensé que dans le cas où b est un entier naturel (a négatif),
on pouvait poser : a^b = (-a)^b si b pair et = - (-a)^b si b impair
après si b est relatif on peut étendre la notation je pense...
si b est rationnel on a b = p * 1/q, on écrit donc que a^b = a^p * a^(1/q)
en se débrouillant pour avoir q > 0 et impair, donc tous les cas où q est
pair en trouvent pas de solution... (en travaillant dans les réels)
bref, tout cela c'est de la cuisine personnelle, qui semble "marcher", mais
qu'en est il des véritables définitions ? qu'indiquent-elles, que
permettent-elles de faire ?
parce qu'on ne m'a jamais dit de tracer les fonctions x ou x^2 uniquement
sur R+ !
albert
--
Break on through to the other side.
comment définit-on la puissance d'un nombre négatif ?
en effet, dans le programme de TS on nous explique la notation a^b=
e^(b*lna) ce qui implique a positif
nous sommes quelques uns à nous être posé la question de ce qu'il en était
pour les cas où a est négatif, puisque on croise couramment -3 au carré par
exemple
alors j'avais pensé que dans le cas où b est un entier naturel (a négatif),
on pouvait poser : a^b = (-a)^b si b pair et = - (-a)^b si b impair
après si b est relatif on peut étendre la notation je pense...
si b est rationnel on a b = p * 1/q, on écrit donc que a^b = a^p * a^(1/q)
en se débrouillant pour avoir q > 0 et impair, donc tous les cas où q est
pair en trouvent pas de solution... (en travaillant dans les réels)
bref, tout cela c'est de la cuisine personnelle, qui semble "marcher", mais
qu'en est il des véritables définitions ? qu'indiquent-elles, que
permettent-elles de faire ?
parce qu'on ne m'a jamais dit de tracer les fonctions x ou x^2 uniquement
sur R+ !
albert
--
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