Racine carré d'un nombre complexe

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news:BC0F2C4A.1D419%alberteinstein588***@hotmail.com...
> je profite de ce fil pour poser une autre question :
> comment définit-on la puissance d'un nombre négatif ?
>
> albert
>
> --
> Break on through to the other side.
>


Une possibilité :

Si a et z sont des nombres complexes ,

a^z = exp(z*ln(a))

où ln(a) = ln(module(a)) + i*Arg(a)

Arg(a) : argument principal de a (élément de ]-pi/2 , pi/2]

La fonction exponentielle se définit dans l'ensemble des nombres complexes
par la série entière bien connue

--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

"Jean.Pellegri" a écrit dans le message de
news:bsc6m1$au8$1@news-reader1.wanadoo.fr...
> Une possibilité :
>
> Si a et z sont des nombres complexes ,
>
> a^z = exp(z*ln(a))
>
> où ln(a) = ln(module(a)) + i*Arg(a)
>
> Arg(a) : argument principal de a (élément de ]-pi/2 , pi/2]
>
> La fonction exponentielle se définit dans l'ensemble des nombres complexes
> par la série entière bien connue


Erratum :

lire "a est un nombre complexe non nul"

--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

Am 24/12/03 15:09, sagte Jean.Pellegri (Jean.Pellegri@wanadoo.fr) :


> Une possibilité :
>
> Si a et z sont des nombres complexes ,
>
> a^z = exp(z*ln(a))
>
> où ln(a) = ln(module(a)) + i*Arg(a)
>
> Arg(a) : argument principal de a (élément de ]-pi/2 , pi/2]
>
> La fonction exponentielle se définit dans l'ensemble des nombres complexes
> par la série entière bien connue

meci pour cette réponse, et joyeux Noël à tous pendant qu'on y est


albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten

[Anonyme]

Si mes souvenirs sont exacts, on ne définit pas 'la' racine carrée d'un
complexe z si z n'est pas dans R+, pour cause d'ambiguïté, mais on
définit 'les' racines n-ièmes de n'importe quel complexe comme
l'ensemble des n complexes qui véfirient u^n = z.

On ne peut pas ordonner cet ensemble de mainère unique d'où le problème
de vocabulaire.

Dans le cadre du programme de TS, si on se place donc dans le cas n = 2,
les deux racines v + i w de z = x + i y doivent vérifiet (v + i w)^2 = x
+ i y donc v^2 - w^2 = x et 2 v w = y. Il est alors évident que (-v) et
(-w) sont solutions du même système.

Pour le résoudre, on remarque que w = 0 ne peut correspondre qu'au cas
d'un réel positif; si ce cas est écarté, v = y/2 w permet d'écrire 4 w^4
+ 4 w^2 x - y^2 = 0; cette équation du second degré en w^2 a toujours
deux racines réelles, distinctes (Delta' = 4 (x^2 + y^2) > 0) dont une
seule est positive, w^2 = (sqrt(x^2 + y^2) - x)/2.

Un de deux éléments de l'ensemble des racines carrées est donc donné par
w = sqrt((sqrt(x^2 + y^2) - x)/2), v = y/2w; l'autre est donné par (-w)
et (-u).

SEOO

[Anonyme]

"Jean.Pellegri" a écrit :
> Si a et z sont des nombres complexes ,
>
> a^z = exp(z*ln(a))
>
> où ln(a) = ln(module(a)) + i*Arg(a)
>
> Arg(a) : argument principal de a (élément de ]-pi/2 , pi/2]

Voire même ]-Pi;Pi], non ? Le "problème" par rapport à la question de
départ c'est que, par exemple, pour (-8)^(1/3) on n'obtient pas
spécialement ce à quoi on s'attendait (on obtient une racine cubique,
mais pas la racine réelle).
AMHA le mieux c'est encore de ne rien définir pour a négatif, parce que
ça implique automatiquement d'utiliser les complexes. Et dès qu'on prend
le ln sur les complexes on a un gros problème de continuité près de R-

--
Nico.

[Anonyme]

"Nicolas Richard" a écrit dans le message
de news:3FEAD736.BC210AE3@yahoo.fr...
> Voire même ]-Pi;Pi], non ? Le "problème" par rapport à la question de
> départ c'est que, par exemple, pour (-8)^(1/3) on n'obtient pas
> spécialement ce à quoi on s'attendait (on obtient une racine cubique,
> mais pas la racine réelle).
> --
> Nico.


(-8)^(1/3) a pour détermination principale 1 + i*sqrt(3) (dont l'argument
est élément de ]-pi/2 , pi/2]

-2 a pour argument pi

-2 est l'une des racines cubiques de -8 , mais ça n'est pas la détermination
principale


--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

De façon plus précise , -8 admet trois racines cubiques :

1 + i*sqrt(3) (module 2 et argument pi/3)

1 - i*sqrt(3) (module 2 et argument -pi/3)

-2 (module 2 et argument pi)

--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

"Jean.Pellegri" a écrit :
> (-8)^(1/3) a pour détermination principale 1 + i*sqrt(3) (dont l'argument
> est élément de ]-pi/2 , pi/2]

L'argument est même un élément de { Pi/3 } dans ce cas ci Mais je
voulais dire que tous les argument 'principaux' ne sont pas dans ]-Pi/2
; Pi/2], il faut prendre un peu plus (le disque fait 2 Pi radians et les
modules ne sont pas négatifs!). Par exemple -1-i a pour argument 3Pi/4

> -2 est l'une des racines cubiques de -8 , mais ça n'est pas la détermination
> principale

Absolument, et donc on n'obtient pas "ce qu'on voudrait" : encore une
fois, je me réfère à la question de départ. Par exemple il parlait de
tracer certaines fonctions... well, personne ne trace la fonction x ->
x^(1/3) sur les complexes que je sache
Donc génial on a une racine, mais on n'a pas définit une fonction qui
convient à une classe de TS.
D'autant que l'écriture ln(z) = ln|z| + i arg(z) demande de faire une
petite intégrale dans le plan complexe, il faut donc quelques
justifications.

--
Nico.

[Anonyme]

"Jean.Pellegri" a écrit dans le message de
news:bscc83$r0n$1@news-reader4.wanadoo.fr...
>
> "Jean.Pellegri" a écrit dans le message de
> news:bsc6m1$au8$1@news-reader1.wanadoo.fr...[color=green]
> > Une possibilité :
> >
> > Si a et z sont des nombres complexes ,
> >
> > a^z = exp(z*ln(a))
> >
> > où ln(a) = ln(module(a)) + i*Arg(a)
> >
> > Arg(a) : argument principal de a (élément de ]-pi/2 , pi/2][/color]

Erratum :

lire "élément de ]-pi , pi]

--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

Am 25/12/03 13:25, sagte Nicolas Richard (theonewiththeevillook@yahoo.fr) :

> Voire même ]-Pi;Pi], non ? Le "problème" par rapport à la question de
> départ c'est que, par exemple, pour (-8)^(1/3) on n'obtient pas
> spécialement ce à quoi on s'attendait (on obtient une racine cubique,
> mais pas la racine réelle).
> AMHA le mieux c'est encore de ne rien définir pour a négatif, parce que
> ça implique automatiquement d'utiliser les complexes. Et dès qu'on prend
> le ln sur les complexes on a un gros problème de continuité près de R-

mais ce qui me gêne, c'est que depuis disons le collège on utilise des
fonctions puissances sans jamais se soucier de quoi que ce soit concernant
ce qu'on met sous la puissance, et d'un coup en TS on introduit les
exponentiels et on dit : attention a > 0 sinon ... ? et là justement on en
dit rien !
alors à partir du mois de décembre de Ts on ne peut plus tracer x^2, ou sans
savoir ce que l'on fait ... c'est de là que vient mon problème en fait

je voudrais pas dire de bêtises, mais un nombre réel positif admet aussi
trois racines cubiques complexes, dont le problème est le même : alors
pourquoi ne "dit" on pas que l'on sélectionne la racine réelle _d'argument
pi_ ?


albert

--
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème (J. Rouxel)

(enlevez les *** pour me répondre en privé)

[Anonyme]

Jean.Pellegri" a écrit :
> (-8)^(1/3) a pour détermination principale 1 + i*sqrt(3) (dont l'argument
> est élément de ]-pi/2 , pi/2]

J'ai certainement dit une bêtise en disant "(dont l'argument est élément
de ]-pi/2 , pi/2])"

arg(-8) = pi + 2*k*pi

arg((-8)^(1/3)) = pi/3 + 2*k*pi/3

Pour k = 0 , on obtient 1 + i*sqrt(3)

C'est peut-être ce que font les calculatrices

Quant à la contunuité de ces fonctions complexes, je crois que c'est trés
compliqué

--

"fortitudo mea in rota"
F - 93100 Montreuil
I - 54023 Filattiera

[Anonyme]

"Jean.Pellegri" a écrit :
> Quant à la contunuité de ces fonctions complexes, je crois que c'est trés
> compliqué

La continuité dans C est exactement celle de R^2, la dérivabilité par
contre est plus amusante.

--
Nico.

[Anonyme]

albert junior a écrit :
> mais ce qui me gêne, c'est que depuis disons le collège on utilise des
> fonctions puissances sans jamais se soucier de quoi que ce soit concernant
> ce qu'on met sous la puissance, et d'un coup en TS on introduit les
> exponentiels et on dit : attention a > 0 sinon ... ? et là justement on en
> dit rien !

Généralement dans les 'petites classe' on définit les puissances
entières des nombres. Et avec ça heureusement tout se passe bien:
x^n = x * x ... * x (n fois) si n est positif, et x^n = 1/x^(-n) si n
est négatif. Aucun problème. C'est comme ça qu'on trace x^2 sans le
moindre problème.

> alors à partir du mois de décembre de Ts on ne peut plus tracer x^2, ou sans
> savoir ce que l'on fait ... c'est de là que vient mon problème en fait

x^2 sera toujours x^2. Càd x*x.

Le truc réellement avec les exposants, c'est de ne pas s'entêter, et
d'utiliser des "fonctions" dites "multiformes", càd que la "fonction"
n'aura plus une seule valeur en chaque point de son domaine, mais
plusieurs jusqu'à une infinité. Pour ln(z) c'est clair : chaque fois
qu'on choisit un argument de z, on a un logarithme différent (partie
imaginaire différente). C'est assez amusant quand on découvre je
trouve... et sans vouloir dénoncer, je connais quelqu'un qui, depuis,
s'excite rien qu'aux mots "fonction holomorphe" (= complexe dérivable)


--
Nico.

[Anonyme]

albert junior wrote:

> Am 25/12/03 13:25, sagte Nicolas Richard (theonewiththeevillook@yahoo.fr) :
>[color=green]
> > Voire même ]-Pi;Pi], non ? Le "problème" par rapport à la question de
> > départ c'est que, par exemple, pour (-8)^(1/3) on n'obtient pas
> > spécialement ce à quoi on s'attendait (on obtient une racine cubique,
> > mais pas la racine réelle).
> > AMHA le mieux c'est encore de ne rien définir pour a négatif, parce que
> > ça implique automatiquement d'utiliser les complexes. Et dès qu'on prend
> > le ln sur les complexes on a un gros problème de continuité près de R-
>
> mais ce qui me gêne, c'est que depuis disons le collège on utilise des
> fonctions puissances sans jamais se soucier de quoi que ce soit concernant
> ce qu'on met sous la puissance,[/color]

Pour les fonctions puissances d'exposant entier naturel, il est clair
qu'il n'y a jamais de problème, parce que x^n, ça veut quand même
toujours très concrètement dire x*...*x (n fois). Mais là où il y a un
problème, bien sûr, c'est quand on veut élever à une puissance autre
qu'entière, parce que la puissance ne se généralise pas du tout
trivialment, et c'est tout l'enjeu de l'introduction de la fonction
exponentielle.

Rien que pour n entier négatif, il y a une impossibilité, qui n'est
certes pas très ennuyeuse, mais qu'on doit mentionner : on ne peut pas
définir 0^n...

Pour les racines n-ièmes, ensuite, il y a un problème plus sérieux qu'on
ne peut pas éviter, c'est que x^n = y, pour n pair, a deux solutions
réelles si y>0, et aucune si y et d'un coup en TS on introduit les
> exponentiels et on dit : attention a > 0 sinon ... ? et là justement on en
> dit rien !
> alors à partir du mois de décembre de Ts on ne peut plus tracer x^2, ou sans
> savoir ce que l'on fait ... c'est de là que vient mon problème en fait[/color]

Il n'y aurait pas vraiment de problème si l'exponentielle était vraiment
introduite de manière naturelle dans ce contexte, c'est-à-dire comme
outil pour généraliser les fonctions puissances.

Le truc, c'est qu'on a vu que parler de a^r, r rationnel, c'était
raisonnable au moins pour a>0 (la convention selon laquelle on prend la
racine positive quand il y a un problème est relativement naturelle à ce
moment-là : ça consiste simplement à dire que l'on ne travaille qu'avec
des nombres positifs). Et on se pose la question de définir a^x pour x
réel. L'idée, c'est alors simplement qu'un réel est limite d'une suite
(r_n) de rationnels (par exemple, les troncatures successives de son
développement décimal), et on a envie de dire que a^x est la limite de
la suite bien définie des a^{r_n}.

Et effectivement, moyennant le fait de démontrer que la limite existe et
ne dépend pas de la suite (r_n) choisie, on peut bien procéder comme ça,
et on obtient une définition des fonctions puissances qui généralise de
manière raisonnablement naturelle ce qu'on savait déjà. Et là, il n'y a
plus d'état d'âme à avoir pour x^2 : comme on a, depuis le départ,
généralisé des notions, les notions introduites *après* coïncident avec
les notions *d'avant* là où elles sont toutes les deux définies (donc
x^2, c'est toujours x*x, mais si x>0, c'est aussi la limite des x^{r_n}
pour n'importe quelle suite (r_n) de rationnels qui converge vers 2).

À noter que cette construction des fonctions puissances permet de
retrouver complètement ce qu'on sait habituellement du logarithme et de
l'exponentielle. En effet, il n'est pas très difficile de voir que la
fonction a^x (a>0), définie comme ci-dessus, tend vers 1 en 0, et est
dérivable à droite en 0. On peut convenir d'appeler ln(a) le nombre
dérivé (c'est-à-dire la limite de (a^x-1)/x pour x->0+), et alors on
retrouve les propriétés habituelles du log, en particulier le fait qu'il
prend une seule fois la valeur 1, pour un certain réel positif noté e.
Et alors vérifier que x->e^x est égal à sa propre dérivée et est la
fonction réciproque de ln est encore un exercice facile.

> je voudrais pas dire de bêtises, mais un nombre réel positif admet aussi
> trois racines cubiques complexes, dont le problème est le même : alors
> pourquoi ne "dit" on pas que l'on sélectionne la racine réelle _d'argument
> pi_ ?

Parce que les nombres complexes ne sont pas franchement le bon cadre
pour s'amuser à généraliser les fonctions puissances, et plus on peut
éviter d'en introduire dans ses raisonnements, mieux on se porte.

Ce qui passe de manière complètement naturelle aux nombres complexes,
c'est l'exponentielle, parce qu'on en a une définition qui se généralise
de manière vraiment confortable, à savoir :

exp(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ··· + z^n/n! + ···

Ça, ça marche vraiment très bien. On a les bonnes propriétés que
exp(z+z') = exp(z)exp(z'), on peut dériver comme on veut, etc. Et on a
aussi, d'ailleurs :

exp(z) = e^{Re z} (cos(Im z) + i sin(Im z))

Mais le problème, c'est que cette exponentielle complexe, contrairement
à ce qui se passe sur R, n'est plus injective : on a exp(2i*pi) = 1 =
exp(0). Donc il faut bien se résoudre à admettre que l'on va avoir plus
de mal pour parler du logarithme. Ça en devient même assez salement
délicat.

En gros, si Z_0 = exp(z_0), on sait bien définir un truc qui ressemble
au log près de Z_0 : autrement dit, on a, sur un certain voisinage de
Z_0, une fonction f qui se dérive confortablement et tout et qui vérifie
f(Z_0) = z_0, et exp(f(Z)) = Z pour Z proche de Z_0. Mais on ne peut pas
vraiment, dire, du coup, que f(ZZ') = f(Z)+f(Z'), même quand Z, Z' et
ZZ' sont proches de Z_0, parce que justement exp n'est pas injective. Et
on a par ailleurs des obstructions infranchissables qui font qu'une
telle fonction f ne pourra jamais étre étendue en une fonction gentiment
continue à toute l'image de exp (qui est C\{0}). Donc en gros, tout
espoir de généralisation des fonctions puissances se heurtent à ces
obstructions, ou alors doivent se résigner à être « à une certaine
constance multiplicative près » (et cette constante peut être carrément
dégoûtante).

Si l'on choisit, comme Jean Pellegri le suggère, de fabriquer une
fonction Ln(z) qui soit réciproque de l'exponentielle et continue sur
C\R_-, on est conduit à poser :

a^z = exp(z*Ln(a)),

en sachant que ce machin là n'est moralement défini qu'à l'ajout au log
qu'on écrit d'un certain nombre de fois 2i*pi. Donc a^z n'est bien
défini qu'à multiplication près par exp(2i*pi*z). Si z est entier, pas
de problème. S'il est rationnel, de la forme p/q, on retrouve nos
habituelles q racines q-ièmes. Et dans les autres cas, bah, on a une
infinité de déterminations distinctes. Donc par exemple, si l'on veut,
i^i, c'est l'un des réels exp(-(2k+1)pi), k entier. (C'est comme ça
qu'on sait, par exemple, que e^pi est transcendant, mais bon, c'est
toute une histoire).

Enfin tout ça pour dire que ce qu'on trouve en essayant de parler de
puissances dans le domaine complexe n'est pas joli-joli.

--
M. Tibouchi
> Life's but a walking Shadow, a poore Player
> That struts and frets his houre vpon the Stage
> And then is heard no more [...] Macbeth V, 5.

[Anonyme]

Am 25/12/03 18:00, sagte Mehdi Tibouchi (medtib@alussinan.org) :

[...]

> en sachant que ce machin là n'est moralement défini qu'à l'ajout au log
> qu'on écrit d'un certain nombre de fois 2i*pi. Donc a^z n'est bien
> défini qu'à multiplication près par exp(2i*pi*z). Si z est entier, pas
> de problème. S'il est rationnel, de la forme p/q, on retrouve nos
> habituelles q racines q-ièmes. Et dans les autres cas, bah, on a une
> infinité de déterminations distinctes. Donc par exemple, si l'on veut,
> i^i, c'est l'un des réels exp(-(2k+1)pi), k entier.
exp(2kpi - pi/2) si je ne m'abuse

>(C'est comme ça
> qu'on sait, par exemple, que e^pi est transcendant, mais bon, c'est
> toute une histoire).
>
> Enfin tout ça pour dire que ce qu'on trouve en essayant de parler de
> puissances dans le domaine complexe n'est pas joli-joli.

merci pour cette longue et complète réponse que je vais conserver;
maintenant je comprends mieux également la mise sous silence de cette
question dans nos programmes.
enfin c'est intéressant de voir ce qui peut se cacher derrière tout cela...


albert

--
Break on through to the other side.