Les suites.

Forum d'archive d'entraide mathématique
Anonyme

Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Bonsoir,
Voilà mon pb, j'ai un exo à faire mais je reste bloquée sur une ptite
question, dc, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider.

Exo: Soit (Un) la suite définie par Uo=2 et
U+1=(2/5)Un+1

1)Calculer U1 et U2 (j'ai trouver U1=1 et U2=7/5)
2)Démontrer que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique. ==>
c'est la que je suis bloquée!!!

Voilou. Merci d'avance pour votre aide.



Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Ofélia wrote:
> Bonsoir,
> Voilà mon pb, j'ai un exo à faire mais je reste bloquée sur une ptite
> question, dc, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider.
>
> Exo: Soit (Un) la suite définie par Uo=2 et
> U+1=(2/5)Un+1
>
> 1)Calculer U1 et U2 (j'ai trouver U1=1 et U2=7/5)
> 2)Démontrer que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique. ==>
> c'est la que je suis bloquée!!!
>
> Voilou. Merci d'avance pour votre aide.


Si ta suite était arithmétique, tu aurais u_{n+1} - u_n = k, constante.
Si elle était géométrique, tu aurais u_{n+1} / u_n = k, constante...
A partir de là, ça ne devrait pas être dur de démontrer ce que tu veux.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Ofélia a écrit:
> Bonsoir,
> Voilà mon pb, j'ai un exo à faire mais je reste bloquée sur une ptite
> question, dc, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider.
>
> Exo: Soit (Un) la suite définie par Uo=2 et
> U+1=(2/5)Un+1

d'abord recopie correctement l'énoncé ?
Si je supposes que c'est U(n+1)=(2*U(n)/5)+1 j'obtiens
pour n=0 U1 = 4/5 +1 et ça fait pas 1...mais 9/5
pour n=1 U2 = 18/25+1 soit 43/25

Pour montrer qu'elle n'est pas arithmétique, ni géométrique, un petit
'raisonnement par l'absurde' doit le faire, sans doute :
Si U(n) est arithmétique alors il existe 2 nombres a et b tels que pour
toute valeur de n, U(n)=a+b*n....ça doit mener à un truc impossible,
donc cela est faux. Id si pour tout n U(n) s'écrit c^n pour un certain c.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

J'suis d'accord avec cette idée, mais le truc c'est que j'ai du mal à
trouver (Un) quand j'ai (Un+1), et puis, je sais le faire quand il n'y a que
n dans la suite, mais pas Un. De plus, j'ai un exo un peu identique mais
dedans, il parle de raisonnement par récurrence, et je sais pas ce que
c'est.

"Zakath" a écrit dans le message de news:
40913d7b$0$512$636a15ce@news.free.fr...
> Ofélia wrote:[color=green]
> > Bonsoir,
> > Voilà mon pb, j'ai un exo à faire mais je reste bloquée sur une ptite
> > question, dc, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider.
> >
> > Exo: Soit (Un) la suite définie par Uo=2 et
> > U+1=(2/5)Un+1
> >
> > 1)Calculer U1 et U2 (j'ai trouver U1=1 et U2=7/5)
> > 2)Démontrer que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique. ==>
> > c'est la que je suis bloquée!!!
> >
> > Voilou. Merci d'avance pour votre aide.

>
> Si ta suite était arithmétique, tu aurais u_{n+1} - u_n = k, constante.
> Si elle était géométrique, tu aurais u_{n+1} / u_n = k, constante...
> A partir de là, ça ne devrait pas être dur de démontrer ce que tu veux.[/color]

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Ofélia a écrit:
> J'suis d'accord avec cette idée, mais le truc c'est que j'ai du mal à
> trouver (Un) quand j'ai (Un+1), et puis, je sais le faire quand il n'y a que
> n dans la suite, mais pas Un. De plus, j'ai un exo un peu identique mais
> dedans, il parle de raisonnement par récurrence, et je sais pas ce que
> c'est.


ALors essayons d'y voir plus clair ;-)
Un c'est en fait un nombre U qui dépend de la valeur n. Et je préféres
écrire (surtout ici sur une seule ligne) U(n) comme on fait avec les
fonctions. Par exemple : U(n) = 6*n +2 dont les valeurs 'successives'
(càd pour n valant 0, puis1, 2, etc...) sont 2, 8, 14, ...

Si (comme dans ton exo) on donne U(0) et une formule qui permet de
calculer U(n+1) quand on connait U(n), on a défini la suite des nombres
U(i) pour i=0,1,... par RECURRENCE. Par exemple : U(0)=2 et
U(n+1)=U(n)+6 définit LA MEME suite que tout à l'heure.

Maintenant si tu sais que U(n+1) = (2/5)*U(n)+1 tu peux parfaitement
calculer que U(n) = (5/2)*(U(n+1)-1), c'est la même égalité transformée
avec les règles habituelles (si on change un terme de côté, on change
son signe, ce genre de choses...)

Dans ton cas, en fait, le post de Zakath te suggère de calculer U(n+1) -
U(n), et cela va faire (2/5)*U(n)+1 -U(n) soit 1 - (3/5)*U(n), ce qui ne
peut être constant que si U(n) est lui même constant. Or U0 n'est pas
égal à U1 et si U(n) n'est pas égal à U(n-1), alors U(n+1) ne peut pas
être égal à U(n) avec ce calcul. CQFD, par récurrence : ce n'est pas
constant entre 0 et 1, donc pas entre 1 et 2, donc pas entre 2 et 3,
etc... jusqu'à l'infini des nombres entiers.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Merci beaucoup, j'ai à peu près compris quand vous écrivez que U(n) =
(5/2)*(U(n+1)-1, koi ke je suis pas vraiment sur que j'ai le droit de faire;
mas le truc que je comprend pas, c'est cmt vous trouvez que U(n+1) -
U(n) donne (2/5)*U(n)+1 -U(n) soit 1 - (3/5)*U(n).
J'suis déolé, j'suis peut être pas douée, mais je comprend pas trop.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Ofélia a écrit:
> Merci beaucoup, j'ai à peu près compris quand vous écrivez que U(n) =
> (5/2)*(U(n+1)-1, koi ke je suis pas vraiment sur que j'ai le droit de faire;
> mas le truc que je comprend pas, c'est cmt vous trouvez que U(n+1) -
> U(n) donne (2/5)*U(n)+1 -U(n) soit 1 - (3/5)*U(n).
> J'suis déolé, j'suis peut être pas douée, mais je comprend pas trop.


Si U(n+1) vaut 2/5 de qq chose +1, appelons A le qq chose, et que l'on
veut enlever ce A au nombre U(n+1), on a le droit de remplacer U(n+1)
par sa valeur calculée en fonction de A : U(n+1)-A est donc égal à
2/5*A+1 -A, soit 2/5*A +1 -5/5*A et 2 cinquièmes moins 5 cinquièmes, ça
fait bien -3 cinquièmes : U(n+1) - A vaut donc bien 1 -(3/5)*A soit 1 -
(3/5) *U(n) puisque A c'est U(n).

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

"Paul Delannoy" a écrit dans le message de news:
4091EECE.6060606@univ-lemans.fr...
> Ofélia a écrit:[color=green]
> > Merci beaucoup, j'ai à peu près compris quand vous écrivez que U(n) =
> > (5/2)*(U(n+1)-1, koi ke je suis pas vraiment sur que j'ai le droit de
[/color]
faire;[color=green]
> > mas le truc que je comprend pas, c'est cmt vous trouvez que U(n+1) -
> > U(n) donne (2/5)*U(n)+1 -U(n) soit 1 - (3/5)*U(n).
> > J'suis déolé, j'suis peut être pas douée, mais je comprend pas trop.

>
> Si U(n+1) vaut 2/5 de qq chose +1, appelons A le qq chose, et que l'on
> veut enlever ce A au nombre U(n+1), on a le droit de remplacer U(n+1)
> par sa valeur calculée en fonction de A : U(n+1)-A est donc égal à
> 2/5*A+1 -A, soit 2/5*A +1 -5/5*A et 2 cinquièmes moins 5 cinquièmes, ça
> fait bien -3 cinquièmes : U(n+1) - A vaut donc bien 1 -(3/5)*A soit 1 -
> (3/5) *U(n) puisque A c'est U(n).
>[/color]

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Alors, ce que j'ai pensé ce matin, c'est de trouver U(n-1), ce qui me donne
normalement U(n) pour le calcul que je veux faire:
U(n-1)=((2/5)Un)-1+1
U(n-1)=((2/5)Un-(5/5)) +1
U(n-1)=-(3/5)Un+1
Donc, si j'ai bien compris ce que vous avez fait, c'est la même chose.
Et donc,
U(n+1)-U(n-1)=((2/5)Un+1)-((-3/5)Un+1)
=(2/5)Un+1+(3/5)Un+1-1
=Un
J'trouve ça asser bizar que ça me donne ça.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Et puis, je sais pas si cela me permet de dire qu'elle n'est pas
arithmétique, ce qui était la question au départ

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:08

Ofélia a écrit:
> Alors, ce que j'ai pensé ce matin, c'est de trouver U(n-1), ce qui me donne
> normalement U(n) pour le calcul que je veux faire:
> U(n-1)=((2/5)Un)-1+1
> U(n-1)=((2/5)Un-(5/5)) +1
> U(n-1)=-(3/5)Un+1
> Donc, si j'ai bien compris ce que vous avez fait, c'est la même chose.
> Et donc,
> U(n+1)-U(n-1)=((2/5)Un+1)-((-3/5)Un+1)
> =(2/5)Un+1+(3/5)Un+1-1
> =Un
> J'trouve ça asser bizar que ça me donne ça.


a) n'enlèves pas les précédentes phrases auxquelles tu réponds : on ne
sait plus où tu en es ;-)
b) Pourquoi donc aller chercher U(n-1) ? surtout que ton calcul est
faux: U(n)=2/5*U(n-1)+1 donc U(n-1) =5/2*(U(n)-1)
c) ta 'bizarrerie' vient d'erreurs de calcul.

Enfin taches de mener un raisonnement cohérent de bout en bout, et je te
conseilles de revoir les bases des expressions algébriques et de leurs
transformations.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

C'est vrai que d'aller chercher jusque là, mais je trouve pas autre chose.
J'arrive pas à trouver Un ni à calculer
U(n+1)- Un. Pourtant, j'arrete pas de réfléchir, mais je trouve pas.
Merci beaucoup pour votre aide et bonne soirée.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Je suis d'accord avec vous avec le fait que Un==(5/2)*U(n+1)-1
Mais, si je fais U(n+1)-Un=(2/5*Un+1)-(5/2*U(n+1)-1)
=2/5*Un-5/2*U(n+1)
Mais après, je vois pas comment je peux continuer le calcul, et prouver que
cette suite n'est pas arithmétique.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Ofélia wrote:

> Bonsoir,
> Voilà mon pb, j'ai un exo à faire mais je reste bloquée sur une ptite
> question, dc, ce serait sympa si quelqu'un pouvait m'aider.
>
> Exo: Soit (Un) la suite définie par Uo=2 et
> U+1=(2/5)Un+1
>
> 1)Calculer U1 et U2 (j'ai trouver U1=1 et U2=7/5)
> 2)Démontrer que la suite (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique. ==>
> c'est la que je suis bloquée!!!
>
> Voilou. Merci d'avance pour votre aide.


Comme dirait le grand Albert, dis moi ce qu'est une suite arithmétique et je
te dirais si ca en est une.

donc lit attentivement la définition et utilise un peu la logique. Comment
démontrer le contraire de l'affirmation "tous les francais aime le
fromage". ?

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Il y a eu déjà pas mal de réponses compliquées alors je vais essayer
d'apporter ma pierre à l'édifice en restant très terre à terre.

1. Tes calculs doivent être faux ou alors tu as mal écrit ta définition.
Si tes calculs sont bons, alors il faut écrire U(n+1) = (2 * U(n) + 1) / 5.

2. Si U(n) est arithmétique, alors il existe une constante k telle que, pour
tout n, U(n+1) = U(n) + k.
C'est la définition d'une suite arithmétique. En particulier, pour n = 0 et
n = 1 :
U(1) = U(0) + k soit 1 = 2 + k => k = -1
U(2) = U(1) + k soit 7/5 = 1 + k => k = 2/5

On trouve 2 valeurs différentes, c'est absurde. Conclusion : U(n) ne peut
pas être arithmétique.

3. Essayer le même raisonnement en supposant cette fois que U(n) est
géométrique. Si tu trouves 2 valeurs différentes de k, c'est absurde et donc
ta suite ne peut pas être arithmétique.

4. J'espère que je t'ai simplifié la vie.

Au plaisir,

Fred

p.s. si en fait tes calculs étaient vraiment faux, corrige, et refais le
même genre de raisonnements.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Ofélia a écrit:
> Je suis d'accord avec vous avec le fait que Un==(5/2)*U(n+1)-1

Là, tu as le nombre U(n) en fonction du nombre B=U(n+1)

> Mais, si je fais U(n+1)-Un :


c'est B-U(n) donc je remplaces U(n) par ce que je viens de trouver.

ce qui donne U(n+1)-5/2*U(n+1)-1 ou encore (2/2-5/2)*B -1 résultat :
-3/2*U(n+1). SI tu ne mélangeais pas tout lorsque tu remplaces un nombre
par une expression, tu y arriverais..

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Je suis vraiment désolé, mais on m'a toujours dit de remplacer, donc, je le
fais. Mais vous avez raison, si je ne mélanger pas tout, j'y arriverai sans
doute. En tout cas, je vous remercie vraiment beaucoup pour votre aide et
votre patience.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

En effet, merci de m'avoir fait remarquer ma faute sur le premier calcul. Je
m'étais tromper, j'avais pris Uo=0 au lieu de Uo=2.
Pour le reste, en fait, je n'ai jamais vu ce raisonnement en cours. Je ne
dit pas qu'il est faux, mais mon prof ma appris, pour prouver qu'une suite
est arithmétique, c'est de faire U(n+1)-Un. Il est vrai que votre
raisonnement est beaucoup plus simple.
Merci beaucoup pour votre réponse. Au plaisir.
Solenn

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

J'ai oublier de le dire, euh, en fait, je vois pas vraiment ce que ça change
si j'éstime que la suite est géométrique et si je fais le même résonnement,
c'est à dire U(n+1) = U(n) + k. Par contre, il existe peut être un
raisonnement presque identique à celui que vous m'avez donnez (pour la suite
arithmétique) pour la suite géométrique, mais je ne le connais pas. Tout ce
que je connais, c'est que pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut
calculer
U(n+1)/Un.

Anonyme

Re: Les suites.

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:09

Ofélia wrote:
> J'ai oublier de le dire, euh, en fait, je vois pas vraiment ce que ça change
> si j'éstime que la suite est géométrique et si je fais le même résonnement,
> c'est à dire U(n+1) = U(n) + k. Par contre, il existe peut être un
> raisonnement presque identique à celui que vous m'avez donnez (pour la suite
> arithmétique) pour la suite géométrique, mais je ne le connais pas. Tout ce
> que je connais, c'est que pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut
> calculer
> U(n+1)/Un.
>


Bon...
en premier lieu, il serait agréable que tu cites les personnes à qui tu
réponds. Deuxièmement, personne ne sait vraiment qu'elle est
l'expression de Un+1 en fonction de Un, visiblement tout le monde n'a
pas pris la même, et tu n'interviens pas vraiment pour nous aider...

Sinon : pour montrer que la proposition "Un est arithmétique" est
fausse, on effectue un raisonnement par l'absurde. Si Un était
géométrique, on aurait : il existe un k, pour tout n, Un+1 = Un + k.
En particulier pour n=0 on aurait k = U1 -U0
et pour n = 1 on aurait k = U2 -U1
SI U1 -U0 est différent de U2 - U1, on a une contradiction et la
proposition est fausse. Cependant, il faut bien que tu comprennes que si
on avait eu U2 -U1 = U1 - U0, ca n'aurait absolument PAS montré que la
suite était arithmétique. Un contre-exemple suffit à annuler une
proposition, une infinité d'exemples ne la valide pas...

Cherches un peu pour faire de même dans le second cas

Sinon, la méthode de Paul Delannoy est utile je pense si on te demendais
de montrer que la suite n'est jamais arithémtique (pas à partir d'un
certain rang).

albert

 

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