Les espaces vectoriels de suites

[Anonyme]

Je suis nouveau, donc si je transgresse quelques règles, ce sera
involontairement....
J'ai un sérieux problème avec un exercice sur les espaces vectoriels, et je
souhaiterai, non pas les réponses, mais quelques pistes de réflexion.
Merci d'avance!

on a E(a,b) = {U = Un, n dans N /U0et U1 dans R avec pour tout n, U(n+2) =
U(n+1) +U(n) }
1- Montrer que E(a,b,+,*) est un espace vectoriel sur R[color=green][color=darkred]
>>>simple, il suffit de reprendre la définition de l'espace vectoriel[/color][/color]
2- Soient alpha et beta deux réels fixés. Montrer qu'il existe une et une
seule suite U(n) de E(a,b) telle que U0 = alpah et U(1) = beta.[color=green][color=darkred]
>>> Là, ca va encore à peu près avec une démonstration par l'absurde, mais[/color][/color]
j'ai l'impression que c'est bancal....
3- Soient A et B les deux suites de E(a,b) telles que a(0) = b(1) = 1 et
a(1) = b(0) = 0. Montrer que ces deux suites constituent une base de
l'espace vectoriel réel E(a,b). En déduire la dimension de cet espace
vectoriel.[color=green][color=darkred]
>>> Là, je suis largué. On nous donne les deux premiers termes de chaque[/color][/color]
suite mais on a pas de définition des suites selon leurs premiers termes.
Donc soit on utilise pas les valeurs données des premiers termes, et je sais
pas comment faire, soit on peut les utiliser et j'ai raté un passage.....
4- Soit r un réel. Montrer que la suite (r)^n est un élément de E(a,b) si et
seulement si r²-ar-b=0.[color=green][color=darkred]
>>> Pour tout dire, je me suis pas encore penché sur la question....[/color][/color]

[Anonyme]

Sébastien Doré wrote / a écrit :

[coupe]
> on a E(a,b) = {U = Un, n dans N /U0et U1 dans R avec pour tout n,
> U(n+2) = U(n+1) +U(n) }

> 3- Soient A et B les deux suites de E(a,b) telles que a(0) = b(1) =
> 1 et a(1) = b(0) = 0. Montrer que ces deux suites constituent une
> base de l'espace vectoriel réel E(a,b). En déduire la dimension de
> cet espace vectoriel.[color=green][color=darkred]
>>>> Là, je suis largué. On nous donne les deux premiers termes de
>>>> chaque[/color]
> suite mais on a pas de définition des suites selon leurs premiers
> termes. Donc soit on utilise pas les valeurs données des premiers
> termes, et je sais pas comment faire, soit on peut les utiliser et
> j'ai raté un passage.....[/color]

En fait une telle suite est donnée complètement et sans ambiguïté par
1) la relation de récurrence (son appartenance à E(a,b) et
2) ses deux premiers termes (c'est ce que tu démontres au point 2)
Cherche à écrire la suite nulle comme combinaison linéaire de (a(n))
et (b(n)) tu devrais trouver des coefficients nuls et démontrer ainsi
que ces deux suites forment une famille libre. Démontre ensuite que
toute suite de de E(a,b) s'écrit comme combinaison de (a(n)) et
(b(n))[ ça c'est simple puisque si la suite u(n) appartient à E(a,b)
on a évidemment u(0) = u(0) * a(0) + u(0) * b(0) et u(1) = ... je te
laisse deviner] arrivé là, c'est fini.

> 4- Soit r un réel. Montrer que la suite
> (r)^n est un élément de E(a,b) si et seulement si r²-ar-b=0.[color=green][color=darkred]
>>>> Pour tout dire, je me suis pas encore penché sur la question....[/color][/color]
C'est hyper-classique Pour quelques informations complémentaires,
chercher « suites de Fibonnacci »

Courage + obstination = réussite

--
Le TeXnicien de surface

[Anonyme]

"Sébastien Doré" wrote in message
news:c0itqi$sr0$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> Je suis nouveau, donc si je transgresse quelques règles, ce sera
> involontairement....
> J'ai un sérieux problème avec un exercice sur les espaces vectoriels, et
je
> souhaiterai, non pas les réponses, mais quelques pistes de réflexion.
> Merci d'avance!
>
> on a E(a,b) = {U = Un, n dans N /U0et U1 dans R avec pour tout n, U(n+2) =
> U(n+1) +U(n) }
> 1- Montrer que E(a,b,+,*) est un espace vectoriel sur R[color=green][color=darkred]
> >>>simple, il suffit de reprendre la définition de l'espace vectoriel[/color]
> 2- Soient alpha et beta deux réels fixés. Montrer qu'il existe une et une
> seule suite U(n) de E(a,b) telle que U0 = alpah et U(1) = beta.[color=darkred]
> >>> Là, ca va encore à peu près avec une démonstration par l'absurde, mais[/color]
> j'ai l'impression que c'est bancal....
> 3- Soient A et B les deux suites de E(a,b) telles que a(0) = b(1) = 1 et
> a(1) = b(0) = 0. Montrer que ces deux suites constituent une base de
> l'espace vectoriel réel E(a,b). En déduire la dimension de cet espace
> vectoriel.[color=darkred]
> >>> Là, je suis largué. On nous donne les deux premiers termes de chaque[/color]
> suite mais on a pas de définition des suites selon leurs premiers termes.
> Donc soit on utilise pas les valeurs données des premiers termes, et je[/color]
sais
> pas comment faire, soit on peut les utiliser et j'ai raté un passage.....
> 4- Soit r un réel. Montrer que la suite (r)^n est un élément de E(a,b) si
et
> seulement si r²-ar-b=0.[color=green][color=darkred]
> >>> Pour tout dire, je me suis pas encore penché sur la question....[/color]
>
>[/color]

Pour le 1 il faut plutot montrer que c'est un sous espace vectoriel ; c'est
plus rapide