Exponentielle de matrice

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai la matrice A :
(2 1)
(1 2)

En la diagonalisant, j'obtiens :
matrice de passage P :
(1 1)
(-1 1)

matrice diagonale D :
(1 0)
(0 3)

D'ou l'exponentiel de tA noté exp(tA) est :
P * exp(D) * P^-1

Quels sont les différentes méthodes pour calculer exp(tA)?
La il me suffirait de calculer P^-1, et puis faire 2 produits
matriciels. Mais on m'a dit qu'il y avait d'autres méthodes. Surtout
quand P^-1 n'est pas facile à calculer.

--
Pascal

[Anonyme]

> J'ai la matrice A :
> (2 1)
> (1 2)
>
> En la diagonalisant, j'obtiens :
> matrice de passage P :
> (1 1)
> (-1 1)
>
> matrice diagonale D :
> (1 0)
> (0 3)
>
> D'ou l'exponentiel de tA noté exp(tA) est :
> P * exp(D) * P^-1
>
> Quels sont les différentes méthodes pour calculer exp(tA)?
> La il me suffirait de calculer P^-1, et puis faire 2 produits matriciels.
> Mais on m'a dit qu'il y avait d'autres méthodes. Surtout quand P^-1 n'est
> pas facile à calculer.

Pour une matrice 2x2, la famille (I, A, A^2) est liée, car le polynôme
minimal de A est de degré inférieur ou égal à 2. On calcul A^2 et il est
alors assez simple de trouver des réels a et b tels que A^2=aI+bA.
Dans le cas général, il me semble qu'en cherchant du côté de la réduction de
Jordan on a des résultats intéressants, mais je ne m'y connais pas trop.

--
Mû

[Anonyme]

Pascal wrote:

> Bonjour,
>
> J'ai la matrice A :
> (2 1)
> (1 2)
>
> En la diagonalisant, j'obtiens :
> matrice de passage P :
> (1 1)
> (-1 1)
>
> matrice diagonale D :
> (1 0)
> (0 3)
>
> D'ou l'exponentiel de tA noté exp(tA) est :
> P * exp(D) * P^-1
>
> Quels sont les différentes méthodes pour calculer exp(tA)?
> La il me suffirait de calculer P^-1, et puis faire 2 produits
> matriciels. Mais on m'a dit qu'il y avait d'autres méthodes. Surtout
> quand P^-1 n'est pas facile à calculer.

Tu peux aussi travailler avec le polynome minimal, qui va te donner une
relation entre les puissances de la matrice, ca marche particulierement
pour les matrices nilpotentes

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

> Tu peux aussi travailler avec le polynome minimal, qui va te donner une
> relation entre les puissances de la matrice, ca marche particulierement
> pour les matrices nilpotentes

Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la
forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
matrice...)?

--
Mû

[Anonyme]

µ a écrit :
[color=green]
>>Tu peux aussi travailler avec le polynome minimal, qui va te donner une
>>relation entre les puissances de la matrice, ca marche particulierement
>>pour les matrices nilpotentes
>
>
> Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la
> forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
> matrice...)?[/color]

Ca te donne une relation /entre une/ puissance de la matrice , ce qui
te permet quand même de limiter la somme de l'exponentielle.

RM.

[Anonyme]

µ wrote:

> Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la
> forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
> matrice...)?
>

Au risque de passer pour un abruti, je n'ai rien compris, ni à ta
méthode, ni à celle de Nicolas... J'ai pas un niveau si élevé! Un
exemple sur la matrice que j'ai donné serait le bienvenu, mais a priori,
ce ne sont pas des méthodes que j'ai déjà étudié (du moins je n'ai
jamais entendu ces noms).

--
Pascal

[Anonyme]

>>>Tu peux aussi travailler avec le polynome minimal, qui va te donner une[color=green][color=darkred]
>>>relation entre les puissances de la matrice, ca marche particulierement
>>>pour les matrices nilpotentes
>>
>>
>> Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la
>> forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
>> matrice...)?[/color]
>
> Ca te donne une relation /entre une/ puissance de la matrice , ce qui
> te permet quand même de limiter la somme de l'exponentielle.[/color]

En effet, je n'ai rien dit!

--
Mû

[Anonyme]

>> Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la[color=green]
>> forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
>> matrice...)?
>>
>
> Au risque de passer pour un abruti, je n'ai rien compris, ni à ta méthode,
> ni à celle de Nicolas... J'ai pas un niveau si élevé! Un exemple sur la
> matrice que j'ai donné serait le bienvenu, mais a priori, ce ne sont pas
> des méthodes que j'ai déjà étudié (du moins je n'ai jamais entendu ces
> noms).[/color]

Non non, sûrement pas un abruti!
Ce qu'on raconte n'est pas d'un niveau très élevé, en fait je pensais que si
tu avais entendu parler d'exponentielle de matrice tu avais aussi dû
entendre parler de polynôme minimal, ce qui n'est pas le cas.
Quelles études fais-tu, si ce n'est pas indiscret?

--
Mû

[Anonyme]

> Quels sont les différentes méthodes pour calculer exp(tA)?
> La il me suffirait de calculer P^-1, et puis faire 2 produits
> matriciels. Mais on m'a dit qu'il y avait d'autres méthodes. Surtout
> quand P^-1 n'est pas facile à calculer.
>

Voici une méthode souvent pratique pour calculer A^n, lorsqu'on connaît un
polynôme annulateur (non nul !!) de A :
Soit P un tel polynôme.
Ecrivons la divions euclidienne de X^n par P(X) :
X^n = Qn(X)*P(X) + Rn(X)
avec deg(Rn) < deg(P)
Donc, en substituant A à X :
A^n = Qn(A)*P(A) + Rn(A)
et comme P annule A,
A^n = Rn(A).
La petite difficulté consiste à déterminer Rn : on s'en sort avec la
majoration de son degré et les racines (en utilisant leur multiplicité) de
P.

Après il y a des méthodes moins générales, qui ne s'appliquent pas toujours
:
- si tu arrives à écrire A sous la forme lambda*I + N avec N nilpotente,
comme lambda*I et N commutent, tu peux te servir de la formul du binôme de
Newton dans l'anneau Mn(lK), et regarder ce que tu obtiens...
- tu peux essayer de calculer A^2, A^3... et conjecturer pour une formule
donnant A^n que tu démontres ensuite par récurrence.

Voilà en gros quelques idées.

[Anonyme]

Pascal écrit:

> (A est semblable à la) matrice diagonale D :
> (1 0)
> (0 3)

exp(D) est un polynôme en D. On peut calculer facilement les
coefficients :

exp(D)=(3e^x+e^{3x})/2 Id + (e^{3x}-e^x)/2 D

Donc :

exp(A)=(3e^x+e^{3x})/2 Id + (e^{3x}-e^x)/2 A

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

(annule et remplace un message précédent où mon clavier avait fourché)

Pascal écrit:

> (A est semblable à la) matrice diagonale D :
> (1 0)
> (0 3)

exp(D) est un polynôme en D. On peut calculer facilement les
coefficients :

exp(D)=(3e^x-e^{3x})/2 Id + (e^{3x}-e^x)/2 D

Donc :

exp(A)=(3e^x-e^{3x})/2 Id + (e^{3x}-e^x)/2 A

--
Benoît RIVET

[Anonyme]

Pascal wrote:

> µ wrote:
>[color=green]
>> Euh... Le polynôme minimal d'une matrice nilpotente ne serait pas de la
>> forme X^p (donc pas beaucoup de relations entre les puissances de la
>> matrice...)?
>>
>
> Au risque de passer pour un abruti, je n'ai rien compris, ni à ta
> méthode, ni à celle de Nicolas... J'ai pas un niveau si élevé! Un
> exemple sur la matrice que j'ai donné serait le bienvenu, mais a priori,
> ce ne sont pas des méthodes que j'ai déjà étudié (du moins je n'ai
> jamais entendu ces noms).[/color]

Je suppose qu'on t'a defini exp(M) sous la forme d'une serie

exp(M) = sum(M^n/n!,n=0..infty)

Comme dans le cas d'une matrice nilpotente, M^n est nul pour un certain n,
on est ramene a une somme finie.

Sinon, le resutat le plus interessant semble etre le fait que exp(M) est un
polynome en M (ce qui se montre par exemple par densite, et par Lagrange,
qui est partout dans cette theorie).

\bye

--

Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

We are the Micro$oft.
Resistance is futile.
You will be assimilated.

[Anonyme]

Nicolas FRANCOIS wrote:

> Je suppose qu'on t'a defini exp(M) sous la forme d'une serie

Oui. Mais bon j'ai fini par trouver ma réponse. Merci pour votre aide.
--
Pascal