Exponentielle entier

[Anonyme]

c'est exact, justement si votre logiciel de calcul vous aurai donné
exactement un entier cela voudrai dire qu'il connais exactement Pi, racine
de 163 et e !

"Kang Karino" a écrit dans le message de news:
414f24a5$0$25693$636a15ce@news.free.fr...
> Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
> Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est
pas
> une évaluation exact.
> J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
> des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur
de
> Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
> l'exponentielle du produit.
> Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
> Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
> conclure que ce n'est pas un entier.
>
> exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
>
> Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
> pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes
de
> bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
> entieres". lol. Nan je plaisante.
>
> Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
>
>

[Anonyme]

pardon jai oublié de préciser n non nul (sinon le polynome serai de degré 0)
"Rosalie Mignon" a écrit dans le message de news:
414f26b9$0$15545$636a15ce@news.free.fr...
> etre transcendant c'est ne pas etre algébrique, e étant transcendant il
> n'existe pa de polynome a coeffcients dans Q ou Z (pareil) de degré >=1
tel
> que e serai racine de ce polynome donc e n'est pas solution du polynome
> X^n-m avec n et m des entiers naturels donc (e^n)> entiers naturels
> c'est donc une condition suffisante (pas forcément necessaire)
>
>
> "Olivier Miakinen" a écrit dans le message de news:
> cin4pn$10bo$1@cabale.usenet-fr.net...[color=green]
> > Le 20/09/2004 18:02, fredatwork a écrit :
> >[color=darkred]
> > > "Stéphane Ménart" a écrit :
> > >> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non[/color][/color]
nul.[color=green][color=darkred]
> > >> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n)[/color][/color]
est[color=green][color=darkred]
> > >> non entier, mais je ne la connais pas.
> > >
> > > Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.
> >
> > Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
> > entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
> >
> > > Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> > > et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
> >
> > C'est exact. Seulement si tu prouves que tout x^n est irrationnel, tu
> > n'as pas besoin de prouver en plus qu'il est transcendant pour savoir
> > qu'il n'est pas entier.[/color]
>
>[/color]

[Anonyme]

Le Mon, 20 Sep 2004 20:42:38 +0200, Kang Karino à écrit
>Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
>Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
>une évaluation exact.
>J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
>des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
>Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
>l'exponentielle du produit.
>Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
>Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
>conclure que ce n'est pas un entier.
>
>exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
>
>Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
>pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
>bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
>entieres". lol. Nan je plaisante.
>
>Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
>

Il n'y a qu'à calculer l'erreur accumulée...

pi = a + epsi1
sqrt(163) = b + epsi2
exp(1) = c + epsi3

avec 0 = 34 on trouve
un nombre à la précision 10^(-14) or le nombre proposé
262537412640768743,9999999999992500725944 à sa 13 eme décimale
différente de 9 donc on est sûr que x n'est pas entier.



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

dites juste ke 0 et 1 ne sont pas transcendants...



"Olivier Miakinen" a écrit dans le message de news:
cin5ak$113s$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 20/09/2004 18:39, Rincevent a écrit :[color=green]
> >
> > On peut dire que l'ensemble des nombre transcendant est INCLUS dans
> > l'ensemble des irrationnels.
> > [...]
> > Mais existe-t-il des informations plus précises concernant la place des
> > transcendant parmis les irrationnels ?
> > Je pense notament à des problèmes de densité et de ""rapports de[/color]
taille"".
>
> Bonne question.
>[color=green]
> > Une petite recherche google m'a donné l'argument suivant quant à[/color]
l'existence[color=green]
> > des transcendants :
> >
> > "L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un[/color]
argument[color=green]
> > de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de[/color]
nombres[color=green]
> > réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres
> > algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques."
>
> Tiens, c'est sympa, tu as trouvé par toi même la réponse !
>
> > Je suppose qu'on peut établir une bijection entre un nombre algébrique[/color]
et le[color=green]
> > polynôme minimal qui l'annule.
>
> La bijection n'est probablement pas aussi immédiate, car je suppose que
> plusieurs nombres algébriques ont le même polynôme minimal. Mais l'idée
> est bien là, il me semble.
>
> > Un polynôme étant une suite finie de coefficients, on peut le mettre en
> > relation avec un unique entier d'une façon quelconque qui importe peu[/color]
ici.[color=green]
> > Grosso modo, est-ce là l'idée de la démonstration sous-entendue ds ce
> > paragraphe ?
>
> C'est ce que je crois.
>
> > L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
> > structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
> > Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y[/color]
transcendant[color=green]
> > ?
>
> Ah non, cela ne marche pas. Par exemple « e » et « -e » sont tous les
> deux transcendants, mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit,
> avec « e » et « 1/e ». En revanche, on peut se poser la question pour
> les nombres algébriques (je suppose que la réponse est oui, mais
> j'aimerais une confirmation de la part des vrais matheux).[/color]

[Anonyme]

"Olivier Miakinen" a écrit dans le message news:
cin4pn$10bo$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 20/09/2004 18:02, fredatwork a écrit :
>[color=green]
> > "Stéphane Ménart" a écrit :[color=darkred]
> >> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> >> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> >> non entier, mais je ne la connais pas.
> >
> > Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.[/color]
>
> Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
> entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
>[/color]
Bonne remarque.
J'ai lu "e" au lieu de "exp(n)", d'ailleurs ceci est vrai également dans ma
réponse
e est transcendant est suffisant par définition de la transcendance.

[Anonyme]

Le 20/09/2004 20:51, Rosalie Mignon a écrit, en donnant après un superbe
exemple de porcinographie (aussi appelé « quotage de goret ») :

> etre transcendant c'est ne pas etre algébrique, e étant transcendant il
> n'existe pa de polynome a coeffcients dans Q ou Z (pareil) de degré >=1 tel
> que e serai racine de ce polynome donc e n'est pas solution du polynome
> X^n-m avec n et m des entiers naturels donc (e^n)> entiers naturels

Nous sommes d'accord. Mais si tu avais lu mon article au lieu de le
porcinographier, tu aurais vu que Stéphane Ménart proposait une preuve
qui n'a pas besoin de la transcendance de e : l'irrationnalité des e^n
suffit.

Es-tu d'accord qu'il suffit qu'un nombre soit irrationnel pour qu'il ne
soit pas entier ?

> c'est donc une condition suffisante (pas forcément necessaire)

Je ne disais pas autre chose.

[Anonyme]

Le 20/09/2004 21:26, Rosalie Mignon a écrit une seule ligne :

> dites juste [qu]e 0 et 1 ne sont pas transcendants...

Tu citais plusieurs dizaines de lignes, en ne répondant qu'à ceci :[color=green]
>>
>> Par exemple « e » et « -e » sont tous les deux transcendants,
>> mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit, avec « e »
>> et « 1/e ».[/color]

Est-ce que j'avais vraiment besoin de rajouter que e + (-e) = 0 ou
que e × (1/e) = 1 ?

Et de ton côté, avais-tu besoin de citer plusieurs dizaines de lignes
pour répondre à ces seules trois lignes ?

Deux liens indispensables :
http://www.giromini.org/usenet-fr/repondre.html
*et*
http://www.aminautes.org/forums/configurer/oe/QF_doc.html

[ copie et suivi sur fr.usenet.usages ]

[Anonyme]

On Mon, 20 Sep 2004 21:20:38 +0200, zwim wrote:

>Le Mon, 20 Sep 2004 20:42:38 +0200, Kang Karino à écrit[color=green]
>>Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
>>Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
>>une évaluation exact.
>>J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
>>des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
>>Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
>>l'exponentielle du produit.
>>Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
>>Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
>>conclure que ce n'est pas un entier.
>>
>>exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
>>
>>Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
>>pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
>>bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
>>entieres". lol. Nan je plaisante.
>>
>>Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
>>
>
>Il n'y a qu'à calculer l'erreur accumulée...
>
>pi = a + epsi1
>sqrt(163) = b + epsi2
>exp(1) = c + epsi3
>
>avec 0
>En dévoloppant pi sqrt(163) = ab + epsi4 avec epsi4
>Pour la puissance c'est plus pénible
>
>x = exp(pi*sqrt(163))
>= (c + epsi3)^(ab+ epsi4)
>= ...
>= c^(ab) * exp( epsi4 ln c + epsi3* ab/c + o(epsi3) )
>= c^(ab) * exp( epsi5 )
>
>avec un epsi5 en majorant grossièrement de l'ordre de
>
>epsi5
>x = c^(ab) * (1 + epsi5 + o(epsi5))
>= c^(ab) + epsi6
>
>avec epsi6 de l'ordre de 262537412640768744 * 35 * 10^(-N)
>
>epsi6
>Donc en faisant un calcul exact avec une précision N >= 34 on trouve
>un nombre à la précision 10^(-14) or le nombre proposé
>262537412640768743,9999999999992500725944 à sa 13 eme décimale
>différente de 9 donc on est sûr que x n'est pas entier.
>
>[/color]
certes
si a,b,c correspondent à des valeurs approchées par défaut et à 10^-34
près de Pi,sqrt(163), e
alors on a^bc

[Anonyme]

Le Tue, 21 Sep 2004 15:45:32 GMT, Marc Pichereau à écrit
>mais pour pouvoir en déduire que x pas entier il faudrait avoir la
>valeur exacte de a^bc ou un développement décimal suffisant
>or cette valeur n'est pas forcément
>262537412640768743,9999999999992500725944
>car justemment ce nombre est en fait une va de x, mais c'est cette va
>que l'on cherche à justifier donc on ne peut pas l'utiliser pour
>conclure.
>donc pour l'instant je ne suis pas convaincu que ta démo
>prouve que x n'est pas entier ;
>et en fait trouver la valeur exacte de a^bc (ou en tout cas un
>développement décimal suffisant) est un pb qui me semble être de même
>nature que trouver un développement décimal de x.

En fait a,b,c sont des nombres avec 34 chiffres derrière la virgule,
ou ce qui revient au même informatiquement parlant = des entiers.

Or on sait calculer la valeur exacte de a^bc pour des entiers, certes
cela demande de la puissance de calcul et de la mémoire, mais on sait
le faire, avec des librairies comme gmp par exemple.

Et donc puisque l'on sait majorer l'erreur commise entre x et a^bc on
est capable de dire que x n'est pas entier.

C'est exactement la même chose lorsque l'on dit que tel ou tel a
calculé tant de millions (milliards...) de décimales de PI, il faut
bien pour avoir une telle assurance, avoir au préalable évalué
l'erreur accumulée durant le calcul et s'en tenir aux décimales non
entachées d'erreurs.

Tout l'art de l'analyse est là, savoir majorer et minorer...



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...