Algebre de Lie et exponentielle

[Anonyme]

Hello,

Je fais un x-post fsm/feem et fu2 feem, en espérant que des gens de
f.s.m. soient inspirés si personne ne l'est sur feem

J'ai deux pbs, le premier c'est de trouver l'application "exponentielle"
pour les groupes de Lie suivant : SL(n,R) O(n,R) et Sp(2n,R)
Donc c'est une application qui va de l'algèbre de Lie dans le groupe de
Lie (on prend l'unique groupe de difféomorphisme à un parmaètre t, basé
en le neutre, et on calcule en t = 1, vous savez sans doute cela mieux
que moi). Bêtement, je dirais que c'est l'exponentielle usuelle (càd la
série de terme x^n/n!). Mais si c'est ça je comprends pas pourquoi on me
pose la question :\

D'autre part, comme j'avais déjà demandé sur feem (mais ça n'attire pas
les foules), je cherche toujours la forme de Killing des algèbres de
O(n,R) et Sp(2n,R)
Mon autre message est là ou là

Comme ce ne sont pas des idéaux de gl(n,R) (ou gl(2n,R)) je ne peux pas
prendre la forme de killing de gl(n,R) et la restreindre... mais alors
que faire? Trouver une base? Ca me parait compliqué.

Merci d'avance, si ça tente quelqu'un...

--
Nico, et pourtant ça peut pas être compliqué :\

[Anonyme]

> J'ai deux pbs, le premier c'est de trouver l'application "exponentielle"
> pour les groupes de Lie suivant : SL(n,R) O(n,R) et Sp(2n,R)
> Donc c'est une application qui va de l'algèbre de Lie dans le groupe de
> Lie (on prend l'unique groupe de difféomorphisme à un parmaètre t, basé
> en le neutre, et on calcule en t = 1, vous savez sans doute cela mieux
> que moi). Bêtement, je dirais que c'est l'exponentielle usuelle (càd la
> série de terme x^n/n!). Mais si c'est ça je comprends pas pourquoi on me
> pose la question :\

Oui, je ne vois ps ce que veux dire cette question... C'est bien
l'exponentielle usuelle qui va de l'algèbre de Lie dans le groupe de Lie,
d'ailleurs je ne connais pas d'exponentielle non usuelle. Ce qu'on veux
peut-être te demander, c'est de dire d'où elle part et où elle va, i.e.
quelles sont les algèbres de Lie des groupes de Lie dont on te parle.

--
Maxi

[Anonyme]

Maxi a écrit :
> Oui, je ne vois ps ce que veux dire cette question... C'est bien
> l'exponentielle usuelle qui va de l'algèbre de Lie dans le groupe de Lie,
> d'ailleurs je ne connais pas d'exponentielle non usuelle.

Pour le groupe additif (R,+) ou pour le groupe d'Heisenberg,
l'exponentielle s'identifie à l'identité. Ca ne me parait pas "usuel",
ceci dit ce sont les seuls cas que j'ai vu (mais on reprend toujours les
exemples des groupes de matrices, au cours)

> Ce qu'on veux
> peut-être te demander, c'est de dire d'où elle part et où elle va, i.e.
> quelles sont les algèbres de Lie des groupes de Lie dont on te parle.

Déterminer l'algèbre, ça fait l'objet des questions d'avant... étrange,
donc. Tant pis, va pour l'exponentielle. Et la forme de killing, ça ne
t'emballe pas ?

En fait je suis con, pour so(n,R) (algèbre de O(n,R)) c'est trivial de
trouver une base, puisque ce sont juste les matrices antisymétriques.
Par contre pour sp(2n,R) je cherche encore... mais finalement je peux
peut être trouver une base quand même...

--
Nico, la bêtise à l'état pur.

[Anonyme]

> Pour le groupe additif (R,+) ou pour le groupe d'Heisenberg,
> l'exponentielle s'identifie à l'identité. Ca ne me parait pas "usuel",
> ceci dit ce sont les seuls cas que j'ai vu (mais on reprend toujours les
> exemples des groupes de matrices, au cours)

C'est au moins vrai pour les groupes "unipotents", i.e. les sous-groupes
fermés de GL(n,R) composés de matrices triangulaires supérieures avec des
1 sur la diagonale, que l'exponentielle est un difféomorphisme (et peut
donc être vue comme l'identité, même si ça n'a rien de naturel). En effet,
le logarithme est bien défini, et converge trivialement (car on l'applique
à des matrices nilpotentes).


Par contre, pour tes exemples (SL(n,R), etc), l'algèbre de Lie n'étant pas
homéomorphe au groupe de Lie, ça ne risque pas d'être une identification.

> donc. Tant pis, va pour l'exponentielle. Et la forme de killing, ça ne
> t'emballe pas ?

C'est que c'est forcément un peu pénible à calculer. Pourtant, c'est sûr
que ça a déjà été fait, mais je ne connais pas de référence.

> En fait je suis con, pour so(n,R) (algèbre de O(n,R)) c'est trivial de
> trouver une base, puisque ce sont juste les matrices antisymétriques.
> Par contre pour sp(2n,R) je cherche encore... mais finalement je peux
> peut être trouver une base quand même...

Ce n'est pas fondamentalement plus dur que pour O(n,R). Tu peux expliciter
très facilement sp(2n,R) (en écrivant la matrice bar blocs nxn), en en
sortir une base.

--
Yves

[Anonyme]

Yves De Cornulier a écrit :
> Par contre, pour tes exemples (SL(n,R), etc), l'algèbre de Lie n'étant pas
> homéomorphe au groupe de Lie, ça ne risque pas d'être une identification.

Voui non, ça n'était pas très bien dit. Je parlais du groupe (R,+) et du
groupe d'heisenbergh (R^(2n+1), comme ensemble) où on pouvait identifier
l'exponentielle avec l'identité. Et quand je dis "identifier", c'est
canonique, c'est une identification entre coordonnées et composantes,
personne n'aurait jamais pensé à écrire autrement les choses qu'en les
"identifiants", c'est tellement pas intéressant que je sais pas pourquoi
j'ai dit "identifier" plutôt que de dire "c'est l'identité". Et je sais
pas pourquoi ça fait 8 lignes que j'en parle! STOP!

Et quand je parlais des groupes de matrices, ce sont les exemples qu'on
a vu au cours et où l'exponentielle est l'exponentielle usuelle. Ceci
dit ça m'a appris quelque chose que tu m'ais mal compris...

> C'est que c'est forcément un peu pénible à calculer. Pourtant, c'est sûr
> que ça a déjà été fait, mais je ne connais pas de référence.

Ok, merci, donc il s'agit de trouver une base... je vais m'y coller
alors. Pour la peine je posterai le résultat si je m'emmele pas dans mes
calculs !


--
Nico, rassuré... "il en faut peu pour être heureux".

[Anonyme]

> Pour le groupe additif (R,+) ou pour le groupe d'Heisenberg,
> l'exponentielle s'identifie à l'identité. Ca ne me parait pas "usuel",
> ceci dit ce sont les seuls cas que j'ai vu (mais on reprend toujours les
> exemples des groupes de matrices, au cours)
Euh oui, désolé, pour moi un groupe de Lie a toujours été un sous-groupe
fermé de GLn.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" , dans le message (fr.education.entraide.maths:55999), a écrit :
> Euh oui, désolé, pour moi un groupe de Lie a toujours été un sous-groupe
> fermé de GLn.

Ils apparaissent souvent comme ceci, mais pas toujours. Par exemple, si G
est le quotient du groupe de Heisenberg par un sous-groupe discret non
trivial de son centre, G est un groupe de Lie qu'on ne peut pas plonger
(ni même immerger) G dans un GL(n,R).

--
Yves

[Anonyme]

> > Euh oui, désolé, pour moi un groupe de Lie a toujours été un sous-groupe[color=green]
> > fermé de GLn.
>
> Ils apparaissent souvent comme ceci, mais pas toujours. Par exemple, si G
> est le quotient du groupe de Heisenberg par un sous-groupe discret non
> trivial de son centre, G est un groupe de Lie qu'on ne peut pas plonger
> (ni même immerger) G dans un GL(n,R).[/color]


Vivi, mais là je venais justement de relire un cours où tout de groupe de
Lie était linéaire

--
Maxi