Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
démontrer. le voici :
Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
Bonne réflexion
Exponentielle entier
29 messages
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Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
c'est pas un entier, mais presque un entier (ce qui ne veut pas dire grand
chose mathématiquement... un nombre est entier ou ne l'est pas).
Il y a eu un post sur ce sujet il y a quelques jours (peut etre dans
fr.sci.maths, je sais plus).
"Kang Karino" a écrit dans le message de news:
414de5ad$0$20443$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> démontrer. le voici :
>
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
> Bonne réflexion
>
>
chose mathématiquement... un nombre est entier ou ne l'est pas).
Il y a eu un post sur ce sujet il y a quelques jours (peut etre dans
fr.sci.maths, je sais plus).
"Kang Karino" a écrit dans le message de news:
414de5ad$0$20443$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> démontrer. le voici :
>
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
> Bonne réflexion
>
>
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
On Sun, 19 Sep 2004 22:01:44 +0200, Kang Karino wrote:
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
# evalf(exp(Pi*sqrt(163)),40);
262537412640768743,9999999999992500725944...
--
Michel [overdose@alussinan.org]
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
# evalf(exp(Pi*sqrt(163)),40);
262537412640768743,9999999999992500725944...
--
Michel [overdose@alussinan.org]
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
Le Sun, 19 Sep 2004 22:01:44 +0200, Kang Karino à écrit
>Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
>démontrer. le voici :
>
>Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
>Bonne réflexion
>
Pas entier...
http://pi.lacim.uqam.ca/fra/approximations_fr.html
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
>Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
>démontrer. le voici :
>
>Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
>Bonne réflexion
>
Pas entier...
http://pi.lacim.uqam.ca/fra/approximations_fr.html
--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
"Kang Karino" a écrit dans le message de news:
414de5ad$0$20443$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> démontrer. le voici :
>
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
> Bonne réflexion
>
Légére disgression sur cette question :
d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Pierre
414de5ad$0$20443$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> démontrer. le voici :
>
> Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
>
> Bonne réflexion
>
Légére disgression sur cette question :
d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Pierre
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
On Mon, 20 Sep 2004 00:11:27 +0200, Rincevent wrote:
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
0 et 1.
--
Nicolas
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
0 et 1.
--
Nicolas
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de news:
slrncksdho.18l.nicolas@bor.iro.umontreal.ca...
>
> On Mon, 20 Sep 2004 00:11:27 +0200, Rincevent wrote:
>[color=green]
> > Légère disgression sur cette question :
> > d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
>
> 0 et 1.[/color]
Exact,
à part cette solution, je pense qu'il n'y a pas d'autre solutions.
La démo ne parait pas vraiment très dure et pourtant je peine à montrer ça !
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Je pense que j'ai pas les yeux en face des trous
S'il existe une solution non triviale, alors il existe une infinité de
solutions
exp(n) = m ==> exp(2*n) = m^2 et d'une façon plus générale exp(p*n) = m^p...
Le fait que e soit irrationnel ne devrait pas intervenir ici (en effet,
contre-exemple : sqrt(2) est irrationnel et pourtant sqrt(2)^2 = 2...).
Pierre
slrncksdho.18l.nicolas@bor.iro.umontreal.ca...
>
> On Mon, 20 Sep 2004 00:11:27 +0200, Rincevent wrote:
>[color=green]
> > Légère disgression sur cette question :
> > d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
>
> 0 et 1.[/color]
Exact,
à part cette solution, je pense qu'il n'y a pas d'autre solutions.
La démo ne parait pas vraiment très dure et pourtant je peine à montrer ça !
Quelqu'un a-t-il une idée ?
Je pense que j'ai pas les yeux en face des trous
S'il existe une solution non triviale, alors il existe une infinité de
solutions
exp(n) = m ==> exp(2*n) = m^2 et d'une façon plus générale exp(p*n) = m^p...
Le fait que e soit irrationnel ne devrait pas intervenir ici (en effet,
contre-exemple : sqrt(2) est irrationnel et pourtant sqrt(2)^2 = 2...).
Pierre
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
"Rincevent" a écrit
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Non, à part pour n = 0.
Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
non entier, mais je ne la connais pas.
Lemme: Soit k un entier positif et f(x)=[x^k*(1-x)^k]/k!
1) Pour 0 0.
Démonstration:
Supposons que e^n = a/b avec a et b entiers
Posons (f étant définie comme dans le lemme)
F(x) = n^(2k)*f(x)-n^(2k-1)*f'(x)+...-n*f^(2k-1)(x)+f^(2k)(x)
[On désigne par f' la dérivée première de f et par f^(p)sa dérivée
p-ième]
D'après le lemme, F(0) et F(1) sont des entiers.
On a
d/dx[e^(nx)*F(x)]=e^(nx)[nF(x)+F'(x)]=n^(2k+1)e^(nx)f(x)
[la dérivée 2k+1-ième de f est bien sûr nulle]
En intégrant les deux membres entre 0 et 1, et en multipliant par b, il
vient:
b*int[n^(2k+1)e^(nx)f(x),x=0..1]=b*[e^n*F(1)- e^0*F(0)]
= aF(1)-bF(0)
L'intégrale de gauche est donc un entier.
Or, puisque f(x)<1/k!, d'après le lemme, on a:
0 < b*int(n^(2k+1)e^(nx)f(x),x=0..1)< b*n^(2k)*(e^n-1)/k!
Pour k assez grand, b*n^(2k)*(e^n-1)/k! peut être rendu < 1
et un entier strictement compris entre 0 et 1, ça n'existe pas!
Cette contradiction achève la démonstration.
Cordialement
Stéphane
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Non, à part pour n = 0.
Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
non entier, mais je ne la connais pas.
Lemme: Soit k un entier positif et f(x)=[x^k*(1-x)^k]/k!
1) Pour 0 0.
Démonstration:
Supposons que e^n = a/b avec a et b entiers
Posons (f étant définie comme dans le lemme)
F(x) = n^(2k)*f(x)-n^(2k-1)*f'(x)+...-n*f^(2k-1)(x)+f^(2k)(x)
[On désigne par f' la dérivée première de f et par f^(p)sa dérivée
p-ième]
D'après le lemme, F(0) et F(1) sont des entiers.
On a
d/dx[e^(nx)*F(x)]=e^(nx)[nF(x)+F'(x)]=n^(2k+1)e^(nx)f(x)
[la dérivée 2k+1-ième de f est bien sûr nulle]
En intégrant les deux membres entre 0 et 1, et en multipliant par b, il
vient:
b*int[n^(2k+1)e^(nx)f(x),x=0..1]=b*[e^n*F(1)- e^0*F(0)]
= aF(1)-bF(0)
L'intégrale de gauche est donc un entier.
Or, puisque f(x)<1/k!, d'après le lemme, on a:
0 < b*int(n^(2k+1)e^(nx)f(x),x=0..1)< b*n^(2k)*(e^n-1)/k!
Pour k assez grand, b*n^(2k)*(e^n-1)/k! peut être rendu < 1
et un entier strictement compris entre 0 et 1, ça n'existe pas!
Cette contradiction achève la démonstration.
Cordialement
Stéphane
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
Rincevent a écrit :
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Puisque e est transcendant, il ne peut pas être solution de x^n - m = 0
--
Nico, comment ça je triche?
> Légére disgression sur cette question :
> d'après vous, existe-il deux entiers n et m vérifiant exp(n) = m ?
Puisque e est transcendant, il ne peut pas être solution de x^n - m = 0
--
Nico, comment ça je triche?
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
> Exact,
> à part cette solution, je pense qu'il n'y a pas d'autre solutions.
> La démo ne parait pas vraiment très dure et pourtant je peine à montrer ça !
> Quelqu'un a-t-il une idée ?
> Je pense que j'ai pas les yeux en face des trous
>
> S'il existe une solution non triviale, alors il existe une infinité de
> solutions
> exp(n) = m ==> exp(2*n) = m^2 et d'une façon plus générale exp(p*n) = m^p...
>
> Le fait que e soit irrationnel ne devrait pas intervenir ici (en effet,
> contre-exemple : sqrt(2) est irrationnel et pourtant sqrt(2)^2 = 2...).
Non, mais e est transcendant et donc ... et patati et patata.
Amitiés,
Olivier
> à part cette solution, je pense qu'il n'y a pas d'autre solutions.
> La démo ne parait pas vraiment très dure et pourtant je peine à montrer ça !
> Quelqu'un a-t-il une idée ?
> Je pense que j'ai pas les yeux en face des trous
>
> S'il existe une solution non triviale, alors il existe une infinité de
> solutions
> exp(n) = m ==> exp(2*n) = m^2 et d'une façon plus générale exp(p*n) = m^p...
>
> Le fait que e soit irrationnel ne devrait pas intervenir ici (en effet,
> contre-exemple : sqrt(2) est irrationnel et pourtant sqrt(2)^2 = 2...).
Non, mais e est transcendant et donc ... et patati et patata.
Amitiés,
Olivier
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
"Stéphane Ménart" a écrit dans le message
news: 414e8539$0$4049$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...
> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> non entier, mais je ne la connais pas.
Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.
Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
Un irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, mais cela ne
l'empêche pas
d'être solution d'une équation algébrique :
Ex. racine(2) est irrationnel et solution de x^2 = 2
news: 414e8539$0$4049$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...
> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> non entier, mais je ne la connais pas.
Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.
Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
Un irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, mais cela ne
l'empêche pas
d'être solution d'une équation algébrique :
Ex. racine(2) est irrationnel et solution de x^2 = 2
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
"fredatwork" a écrit dans le message de news:
cimuv1$uam$1@s5.feed.news.oleane.net...
> "Stéphane Ménart" a écrit dans le message
> news: 414e8539$0$4049$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...[color=green]
> > Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> > Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> > non entier, mais je ne la connais pas.
>
> Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.
>
> Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
>
> Un irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, mais cela ne
> l'empêche pas
> d'être solution d'une équation algébrique :
> Ex. racine(2) est irrationnel et solution de x^2 = 2
>[/color]
Ok
On peut dire que l'ensemble des nombre transcendant est INCLUS dans
l'ensemble des irrationnels.
En effet si x transendant rationnel, x =a/b et alors b*x - a = 0...
Soit...
Mais existe-t-il des informations plus précises concernant la place des
transcendant parmis les irrationnels ?
Je pense notament à des problèmes de densité et de ""rapports de taille"".
Une petite recherche google m'a donné l'argument suivant quant à l'existence
des transcendants :
"L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument
de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres
réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres
algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques."
Je suppose qu'on peut établir une bijection entre un nombre algébrique et le
polynôme minimal qui l'annule.
Un polynôme étant une suite finie de coefficients, on peut le mettre en
relation avec un unique entier d'une façon quelconque qui importe peu ici.
Grosso modo, est-ce là l'idée de la démonstration sous-entendue ds ce
paragraphe ?
L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
?
Enfin merci d'avance pour vos réponses !
Pierre, qui s'interroge
cimuv1$uam$1@s5.feed.news.oleane.net...
> "Stéphane Ménart" a écrit dans le message
> news: 414e8539$0$4049$79c14f64@nan-newsreader-06.noos.net...[color=green]
> > Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> > Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> > non entier, mais je ne la connais pas.
>
> Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.
>
> Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
>
> Un irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme a/b, mais cela ne
> l'empêche pas
> d'être solution d'une équation algébrique :
> Ex. racine(2) est irrationnel et solution de x^2 = 2
>[/color]
Ok
On peut dire que l'ensemble des nombre transcendant est INCLUS dans
l'ensemble des irrationnels.
En effet si x transendant rationnel, x =a/b et alors b*x - a = 0...
Soit...
Mais existe-t-il des informations plus précises concernant la place des
transcendant parmis les irrationnels ?
Je pense notament à des problèmes de densité et de ""rapports de taille"".
Une petite recherche google m'a donné l'argument suivant quant à l'existence
des transcendants :
"L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument
de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres
réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres
algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques."
Je suppose qu'on peut établir une bijection entre un nombre algébrique et le
polynôme minimal qui l'annule.
Un polynôme étant une suite finie de coefficients, on peut le mettre en
relation avec un unique entier d'une façon quelconque qui importe peu ici.
Grosso modo, est-ce là l'idée de la démonstration sous-entendue ds ce
paragraphe ?
L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
?
Enfin merci d'avance pour vos réponses !
Pierre, qui s'interroge
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
Le 20/09/2004 18:02, fredatwork a écrit :
> "Stéphane Ménart" a écrit :[color=green]
>> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
>> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
>> non entier, mais je ne la connais pas.
>
> Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.[/color]
Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
> Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
C'est exact. Seulement si tu prouves que tout x^n est irrationnel, tu
n'as pas besoin de prouver en plus qu'il est transcendant pour savoir
qu'il n'est pas entier.
> "Stéphane Ménart" a écrit :[color=green]
>> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
>> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
>> non entier, mais je ne la connais pas.
>
> Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.[/color]
Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
> Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
C'est exact. Seulement si tu prouves que tout x^n est irrationnel, tu
n'as pas besoin de prouver en plus qu'il est transcendant pour savoir
qu'il n'est pas entier.
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
Le 20/09/2004 18:39, Rincevent a écrit :
>
> On peut dire que l'ensemble des nombre transcendant est INCLUS dans
> l'ensemble des irrationnels.
> [...]
> Mais existe-t-il des informations plus précises concernant la place des
> transcendant parmis les irrationnels ?
> Je pense notament à des problèmes de densité et de ""rapports de taille"".
Bonne question.
> Une petite recherche google m'a donné l'argument suivant quant à l'existence
> des transcendants :
>
> "L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument
> de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres
> réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres
> algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques."
Tiens, c'est sympa, tu as trouvé par toi même la réponse !
> Je suppose qu'on peut établir une bijection entre un nombre algébrique et le
> polynôme minimal qui l'annule.
La bijection n'est probablement pas aussi immédiate, car je suppose que
plusieurs nombres algébriques ont le même polynôme minimal. Mais l'idée
est bien là, il me semble.
> Un polynôme étant une suite finie de coefficients, on peut le mettre en
> relation avec un unique entier d'une façon quelconque qui importe peu ici.
> Grosso modo, est-ce là l'idée de la démonstration sous-entendue ds ce
> paragraphe ?
C'est ce que je crois.
> L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
> structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
> Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
> ?
Ah non, cela ne marche pas. Par exemple « e » et « -e » sont tous les
deux transcendants, mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit,
avec « e » et « 1/e ». En revanche, on peut se poser la question pour
les nombres algébriques (je suppose que la réponse est oui, mais
j'aimerais une confirmation de la part des vrais matheux).
>
> On peut dire que l'ensemble des nombre transcendant est INCLUS dans
> l'ensemble des irrationnels.
> [...]
> Mais existe-t-il des informations plus précises concernant la place des
> transcendant parmis les irrationnels ?
> Je pense notament à des problèmes de densité et de ""rapports de taille"".
Bonne question.
> Une petite recherche google m'a donné l'argument suivant quant à l'existence
> des transcendants :
>
> "L'existence de nombres transcendants se démontre facilement par un argument
> de cardinalité (comptage) : il y a une infinité non-dénombrable de nombres
> réels (ou complexes), et seulement une infinité dénombrable de nombres
> algébriques, donc certains nombres réels ne sont pas algébriques."
Tiens, c'est sympa, tu as trouvé par toi même la réponse !
> Je suppose qu'on peut établir une bijection entre un nombre algébrique et le
> polynôme minimal qui l'annule.
La bijection n'est probablement pas aussi immédiate, car je suppose que
plusieurs nombres algébriques ont le même polynôme minimal. Mais l'idée
est bien là, il me semble.
> Un polynôme étant une suite finie de coefficients, on peut le mettre en
> relation avec un unique entier d'une façon quelconque qui importe peu ici.
> Grosso modo, est-ce là l'idée de la démonstration sous-entendue ds ce
> paragraphe ?
C'est ce que je crois.
> L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
> structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
> Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
> ?
Ah non, cela ne marche pas. Par exemple « e » et « -e » sont tous les
deux transcendants, mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit,
avec « e » et « 1/e ». En revanche, on peut se poser la question pour
les nombres algébriques (je suppose que la réponse est oui, mais
j'aimerais une confirmation de la part des vrais matheux).
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
On Mon, 20 Sep 2004 19:51:17 +0200, Olivier Miakinen
wrote:
>[color=green]
>> L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
>> structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
>> Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
>> ?
>
>Ah non, cela ne marche pas. Par exemple « e » et « -e » sont tous les
>deux transcendants, mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit,
>avec « e » et « 1/e ». En revanche, on peut se poser la question pour
>les nombres algébriques (je suppose que la réponse est oui, mais
>j'aimerais une confirmation de la part des vrais matheux).[/color]
quoique ne me prenant pas pour un vrai matheux
je confirme que l'ensemble des nombres algébriques est effectivement
un corps
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************
wrote:
>[color=green]
>> L'ensemble des transcendants peut-il être muni d'une loi pour former une
>> structure mathématique quelconque (groupe, anneau ?).
>> Par exemple, si x et y sont transcendant, a-t-on forcément x+y transcendant
>> ?
>
>Ah non, cela ne marche pas. Par exemple « e » et « -e » sont tous les
>deux transcendants, mais leur somme ne l'est pas. Idem pour le produit,
>avec « e » et « 1/e ». En revanche, on peut se poser la question pour
>les nombres algébriques (je suppose que la réponse est oui, mais
>j'aimerais une confirmation de la part des vrais matheux).[/color]
quoique ne me prenant pas pour un vrai matheux
je confirme que l'ensemble des nombres algébriques est effectivement
un corps
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
une évaluation exact.
J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
l'exponentielle du produit.
Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
conclure que ce n'est pas un entier.
exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
entieres". lol. Nan je plaisante.
Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
une évaluation exact.
J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
l'exponentielle du produit.
Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
conclure que ce n'est pas un entier.
exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
entieres". lol. Nan je plaisante.
Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
etre transcendant c'est ne pas etre algébrique, e étant transcendant il
n'existe pa de polynome a coeffcients dans Q ou Z (pareil) de degré >=1 tel
que e serai racine de ce polynome donc e n'est pas solution du polynome
X^n-m avec n et m des entiers naturels donc (e^n)> a écrit dans le message de news:
cin4pn$10bo$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 20/09/2004 18:02, fredatwork a écrit :
>[color=green]
> > "Stéphane Ménart" a écrit :[color=darkred]
> >> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> >> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> >> non entier, mais je ne la connais pas.
> >
> > Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.[/color]
>
> Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
> entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
>
> > Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> > et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
>
> C'est exact. Seulement si tu prouves que tout x^n est irrationnel, tu
> n'as pas besoin de prouver en plus qu'il est transcendant pour savoir
> qu'il n'est pas entier.[/color]
n'existe pa de polynome a coeffcients dans Q ou Z (pareil) de degré >=1 tel
que e serai racine de ce polynome donc e n'est pas solution du polynome
X^n-m avec n et m des entiers naturels donc (e^n)> a écrit dans le message de news:
cin4pn$10bo$1@cabale.usenet-fr.net...
> Le 20/09/2004 18:02, fredatwork a écrit :
>[color=green]
> > "Stéphane Ménart" a écrit :[color=darkred]
> >> Cela résulte du fait que exp(n) est irrationnel, pour n entier non nul.
> >> Il existe peut-être une preuve directe plus simple de ce que exp(n) est
> >> non entier, mais je ne la connais pas.
> >
> > Cela résulte du fait que exp(n) est transcendant, pas irrationnel.[/color]
>
> Note qu'il a écrit « exp(n) » est irrationnel, en précisant « pour n
> entier non nul », et non pas simplement « e est irrationnel ».
>
> > Un nombre transcendant n'est solution d'aucune équation algébrique
> > et en particulier d'aucune équation du type x^n = m
>
> C'est exact. Seulement si tu prouves que tout x^n est irrationnel, tu
> n'as pas besoin de prouver en plus qu'il est transcendant pour savoir
> qu'il n'est pas entier.[/color]
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
le site ne démontre pas qu'il n'est pas entier...
"zwim" a écrit dans le message de news:
84qrk014pt9lfi9r81g5ksbkcc1vc0hppf@4ax.com...
> Le Sun, 19 Sep 2004 22:01:44 +0200, Kang Karino à écrit[color=green]
> >Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> >démontrer. le voici :
> >
> >Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
> >
> >Bonne réflexion
> >
>
> Pas entier...
>
> http://pi.lacim.uqam.ca/fra/approximations_fr.html
>
> --
> zwim.
> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...[/color]
"zwim" a écrit dans le message de news:
84qrk014pt9lfi9r81g5ksbkcc1vc0hppf@4ax.com...
> Le Sun, 19 Sep 2004 22:01:44 +0200, Kang Karino à écrit[color=green]
> >Bonjour, j'ai trouvé un résultat assez amusant, mais je n'arrive pas à le
> >démontrer. le voici :
> >
> >Montrer que exp(Pi * sqrt(163)) est entier.
> >
> >Bonne réflexion
> >
>
> Pas entier...
>
> http://pi.lacim.uqam.ca/fra/approximations_fr.html
>
> --
> zwim.
> Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...[/color]
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
On Mon, 20 Sep 2004 20:42:38 +0200, "Kang Karino"
wrote:
>Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
>Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
>une évaluation exact.
>J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
>des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
>Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
>l'exponentielle du produit.
>Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
>Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
>conclure que ce n'est pas un entier.
>
>exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
>
>Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
>pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
>bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
>entieres". lol. Nan je plaisante.
>
>Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
>
c'est extrêmement compliqué
dans un article de la revue APMEP il est dit
"la justification nécessite de l'analyse complexe et de la théorie des
formes modulaires et réductions des formes quadratiques" voir JP Serre
cours d'arithmétque PUF 1970 "
(inutile de dire que ca me passe au dessus ....)
en tout cas ce résultat est lié à l'anneau Z[(-1+irac(163))/2]
rem il paraît que Ramanujan a trouvé , à la main ,
262537412640768743,999999 mais n'a pu aller plus loin
(source un message de sci.math "The colossal book of Mathematics" du
28/12/2003)
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************
wrote:
>Pourquoi exp(Pi*sqrt(163)) ne serait-il pas entier?
>Une évaluation qui donne 262537412640768743,9999999999992500725944 n'est pas
>une évaluation exact.
>J'imagine que c Maple ou Mathematica qui a calculé ça. Mais les constantes
>des logiciels ne sont pas toujours exact : On approxime d'abord la valeur de
>Pi, puis on approxime la valeur de sqrt(163) et enfin, on approxime
>l'exponentielle du produit.
>Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
>Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
>conclure que ce n'est pas un entier.
>
>exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
>
>Si vous pensez que ce n'est pas un entier, donner une bonne démonstration
>pour convaincre tout le monde au lieu de vous attardez sur des problèmes de
>bas niveau tel que "existe-t-il deux entiers ayant des exponentiels
>entieres". lol. Nan je plaisante.
>
>Pour ma part, je n'ai pas réussi à le démontrer...
>
c'est extrêmement compliqué
dans un article de la revue APMEP il est dit
"la justification nécessite de l'analyse complexe et de la théorie des
formes modulaires et réductions des formes quadratiques" voir JP Serre
cours d'arithmétque PUF 1970 "
(inutile de dire que ca me passe au dessus ....)
en tout cas ce résultat est lié à l'anneau Z[(-1+irac(163))/2]
rem il paraît que Ramanujan a trouvé , à la main ,
262537412640768743,999999 mais n'a pu aller plus loin
(source un message de sci.math "The colossal book of Mathematics" du
28/12/2003)
*****************
Pichereau Alain
adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************
Re: Exponentielle entier
par Anonyme » 30 Avr 2005, 17:38
On Mon, 20 Sep 2004 20:42:38 +0200, Kang Karino wrote:
> Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
> Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
> conclure que ce n'est pas un entier.
>
> exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
Tu viens de calculer ça à la main ?
--
Michel, qui a déjà du mal avec sqrt(163)
[overdose@alussinan.org]
> Ca fait beaucoup d'approximation je trouve...
> Conclusion : On ne peut pas s'appuyer sur cette approximation pour en
> conclure que ce n'est pas un entier.
>
> exp(Pi*sqrt(163)) = 262537412640768744
Tu viens de calculer ça à la main ?
--
Michel, qui a déjà du mal avec sqrt(163)
[overdose@alussinan.org]
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