Exo barycentres

[Anonyme]

Voici deux exos que je dois resoudre avec les barycentres mais qui me posent
problemes:

Ex1:
OABC et OA'B'C'D' sont deux parallélogrammes tq O,A,A' d'une part et O,C,C'
d'autre part sont alignés.
Démontrer que (AC'),(A'C) et (BB') sont concourantes ou parallèles.
(j'arrive à voir les deux cas de figures mais apres....)

Ex2:
Soit ABC un triangle et a,b,c des pts de [BC],[AC],[AB] divisant ces
segments en trois:
Ba/BC = Cb/CA = Ac/AB = 1/3.
E est l'intersection de (Cc) et (Bb)
F (Aa) et (Cc)
G (Aa) et (Bb)
Montrer que E est le milieu de [FC],F celui de [AG], G celui de [EB].

Merci de vos indications/solutions.

[Anonyme]

Juste des idées que je n'ai pas eu le temps de vérifier.

On Sat, 25 Sep 2004 16:41:34 +0200, sasa wrote:

> OABC OA'B'C' deux parall tq O,A,A' et O,C,C' alignés.
> Dq (AC'),(A'C), (BB') concourantes ou parallèles.

Poser G le barycentre commun à (A,C') et à (A',C),
MG = a1.MA+b1.MC' = a2.MA'+b2.MC

Puis montrer que G appartient à (BB') en calculant le vecteur BG.
Utiliser la relation précédente et des décompositions du vecteur BG
selon des côtés de parallélogrammes.

> Soit ABC un triangle et a,b,c des pts de [BC],[AC],[AB] divisant ces
> segments en trois:
> Ba/BC = Cb/CA = Ac/AB = 1/3.
> E est l'intersection de (Cc) et (Bb)
> F (Aa) et (Cc)
> G (Aa) et (Bb)
> Montrer que E est le milieu de [FC],F celui de [AG], G celui de [EB].

Ecrire E,F,G sous forme de barycentre,
E comme barycentre de (C,c) ou (B,b), pareil pour F et G.
Puis exprimer E comme barycentre de F et C en utilisant l'associativité
du barycentre.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Pour l"exo 2
es tu sûr de la questtion , j'ai fait une figure juste et E n'est pas
milieu de FC idem pour les autres


"sasa" a écrit dans le message de
news:cj4034$gph$1@news.tiscali.fr...
> Voici deux exos que je dois resoudre avec les barycentres mais qui me
posent
> problemes:
>
> Ex1:
> OABC et OA'B'C'D' sont deux parallélogrammes tq O,A,A' d'une part et
O,C,C'
> d'autre part sont alignés.
> Démontrer que (AC'),(A'C) et (BB') sont concourantes ou parallèles.
> (j'arrive à voir les deux cas de figures mais apres....)
>
> Ex2:
> Soit ABC un triangle et a,b,c des pts de [BC],[AC],[AB] divisant ces
> segments en trois:
> Ba/BC = Cb/CA = Ac/AB = 1/3.
> E est l'intersection de (Cc) et (Bb)
> F (Aa) et (Cc)
> G (Aa) et (Bb)
> Montrer que E est le milieu de [FC],F celui de [AG], G celui de [EB].
>
> Merci de vos indications/solutions.
>
>

[Anonyme]

sasa wrote:

> Voici deux exos que je dois resoudre avec les barycentres mais qui me posent
> problemes:
>
> Ex1:
> OABC et OA'B'C'D' sont deux parallélogrammes tq O,A,A' d'une part et O,C,C'
> d'autre part sont alignés.
> Démontrer que (AC'),(A'C) et (BB') sont concourantes ou parallèles.
> (j'arrive à voir les deux cas de figures mais apres....)

j'y ai réfléchi ,et ,je crois avoir la solution pure "barycentre"
je transforme l'énoncé en écriture barycentrique
O,A,A' alignés ,il existe k -1 tel que

A' = bar{(O,1),(A,k)}

du fait que OABC et OA'B'C' # on a aussi

C' = bar{(O,1),(C,k)}

de plus OABC # donc

B= bar{(O,-1),(A,1),(C,1)} (1)

et OA'B'C' #

B'= bar{(O,-1),(A',1),(C',1)}

mais ici j'ai A' et C' au lieu de A et C ,alors je multiplie par (k+1)

B'= bar{(O,-k-1),(A',k+1),(C',k+1)}
B'= bar{(O,-k-1),(O,1),(A,k),(O,1),(C,k)}

B'= bar{(O,-k+1),(A,k),(C,k)} (2)

je cherche le point d'intersection de (AC') et(A'C) s'il existe;en
regardant les deux premiers barycentres,j'ai pensé à

I= bar{(O,1),(A,k),(C,k)} (3)

pour que ce soit un barycentre il faut que k soit différent de -0,5 ,tu
vérifieras que c'est le cas parallèle sinon par associativité

I= bar{(A',k+1),(C,k)} donc I appartient à (A'C)
I= bar{(C',k+1),(A,k)} donc I appartient à (AC')

reste à montrer que I appartient à (BB'):il faut multiplier les
barycentres (1) par a et (2) par b et additionner pour obtenir (3),reste
à trouver la valeur de a et b,
comme il y a les mêmes c½fficients pour A et C ,je ne m'occupe que des
c½fficients de O et A (par ex);j'obtiens le système

pour O {a.(-1) + b(-k+1) = 1
pour A {a.(1) + b(k) = k

En additionnant ,on trouve b = k+1 et
en remplaçant dans la deuxième a = -k" donc ça marche ,on peut vérifier
à partir de (3)

I= bar{(O,1),(A,k),(C,k)}
I= bar{(O,1-k"+k"),(A,k-k"+k"),(C,k-k"+k")}
I= bar{(O,1-k"),(O,k"),(A,k+k"),(A,-k"),(C,k+k"),(C,-k")}
I= bar{(O,1-k"),(A,k+k"),(C,k+k"),(O,k"),(A,-k"),(C,-k")}
I= bar{(B',(1+k)"),(B,-k")}

cqfd

bon courage ,ben






--
ouf!

[Anonyme]

benoit delphan wrote:
j'ai fait une erreur mais personne ne l'a vu ,(ou tout le monde s'en
fout...),je reprends

> O,A,A' alignés ,il existe k -1 tel que
>
> A' = bar{(O,1),(A,k)}
>
> du fait que OABC et OA'B'C' # on a aussi
>
> C' = bar{(O,1),(C,k)}
ca ,c'est faux,j'avais pensé à une homothétie de #,ce qui n'est pas le
cas donc je corrige
O,C,C' alignés ,il existe k' -1 tel que
>
C' = bar{(O,1),(C,k')}

ce qui change la suite
> de plus OABC # donc
>
> B= bar{(O,-1),(A,1),(C,1)} (1)
>
> et OA'B'C' #
>
> B'= bar{(O,-1),(A',1),(C',1)}
>
mais ici j'ai A' et C' au lieu de A et C ,alors je multiplie par
(k+1)(k'+1)
>
> B'= bar{(O,-(k+1)(k'+1)),(A',(k+1)(k'+1)),(C',(k+1)(k'+1))}
> B'= bar{(O,-(k+1)(k'+1)),(O,(k'+1)),(A,k(k'+1)),(O,(k+1)),(C,k'(k+1))}
>
> B'= bar{(O,1-kk'),(A,k(k'+1)),(C,k'(k+1))} (2)
>
> je cherche le point d'intersection de (AC') et(A'C) s'il existe;en
> regardant les deux premiers barycentres,j'ai pensé à
>
> I= bar{(O,1),(A,k),(C,k')} (3)
>
> pour que ce soit un barycentre il faut que k soit différent de -0,5 ,tu
> vérifieras que c'est le cas parallèle sinon par associativité
>
> I= bar{(A',k+1),(C,k')} donc I appartient à (A'C)
> I= bar{(C',k'+1),(A,k)} donc I appartient à (AC')
>
> reste à montrer que I appartient à (BB'):il faut multiplier les
> barycentres (1) par a et (2) par b et additionner pour obtenir (3),reste
> à trouver la valeur de a et b,;j'obtiens le système
>
pour O {a.(-1) + b(1-kk') = 1
pour A {a.(1) + b(k+kk') = k
pour C {a.(1) + b(k'+kk') = k'

En additionnant les 2 premières,on trouve b = 1 et
en remplaçant dans la deuxième a = -kk'donc ça marche ,on peut
vérifier à partir de (3)
>
> I= bar{(O,1),(A,k),(C,k')}
> I= bar{(O,1-kk'+kk'),(A,k-kk'+kk'),(C,k'-kk'+kk')}
> I= bar{(O,1-kk'),(O,kk'),(A,k+kk'),(A,-kk'),(C,k'+kk'),(C,-kk')}
> I= bar{(O,1-kk'),(A,k+kk'),(C,k+kk'),(O,kk'),(A,-kk'),(C,-kk')}
> I= bar{(B',(1+k)(1+k')),(B,-kk')}

de plus,j'ai retiré les cas triviaux du genre A=A' ou C=C' mais c'est
facile à démontrer....
>
> cqfd (pour ceux qui suivent...)
>
> bon courage ,ben
>
>
>


--
ouf!