Exo arithmetique caché

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un exo un êu bizarre.

Soient p,q et r trois projecteurs de E ev de dimension finie.
On pose s=p+sqrt(2)*q+sqrt(3)*r
Est ce que s peut être un projecteur?

1)Alors si q=r=0, alors s est clairement un projecteur de E.
2)Réciproquement, et là c'est la grosse fainte de passer de l'algebre linéaire
à de l'arithmétique, on compose par la trace:

tr(p)-tr(s)+sqrt(2)*tr(q)+sqrt(3)*tr(r)=0

la trace est une forme lineaire (dans N exactement)
On montre que la famille (1,sqrt(2),sqrt(3)) est Q libre.

donc tr(q)=tr(r)=0
soit rg(q)=rg(r)=0
d'où q=r=0 ok

Cependant dans cette réciproque je n'ai à aucun moment utilisé : "si s est un
projecteur de E, alors ...." je n'ai pas du tout utilisé l'hypothese de départ
quoi.

ça me semble un peu étrange, non?

[Anonyme]

> J'ai un exo un êu bizarre.
>
> Soient p,q et r trois projecteurs de E ev de dimension finie.
> On pose s=p+sqrt(2)*q+sqrt(3)*r
> Est ce que s peut être un projecteur?
>
> 1)Alors si q=r=0, alors s est clairement un projecteur de E.
> 2)Réciproquement, et là c'est la grosse fainte de passer de l'algebre
linéaire
> à de l'arithmétique, on compose par la trace:
>
> tr(p)-tr(s)+sqrt(2)*tr(q)+sqrt(3)*tr(r)=0
>
> la trace est une forme lineaire (dans N exactement)
> On montre que la famille (1,sqrt(2),sqrt(3)) est Q libre.
>
> donc tr(q)=tr(r)=0
> soit rg(q)=rg(r)=0
> d'où q=r=0 ok
>
> Cependant dans cette réciproque je n'ai à aucun moment utilisé : "si s est
un
> projecteur de E, alors ...." je n'ai pas du tout utilisé l'hypothese de
départ
> quoi.
>
> ça me semble un peu étrange, non?

Tu l'as utilisé en disant "tr(s) est un entier".

--
Maxi

[Anonyme]

>Tu l'as utilisé en disant "tr(s) est un entier".
>
>--
>Maxi
>

en effet, si s est un projecteur, alors s²=s, P(X)=X(X-1) est un polynome
annulateur de s, donc Sp(s) est dans {0,1}

donc s est semblable à une matrice diagonale avec soit des 1 soit des 0 sur la
diagonale, donc la trace est dans N, oki.

c'est bien caché quand même