Dimension et traces

[Anonyme]

VOici l'exercice sur lequel je bute depuis longtemps pourriez vous m'aider
merci

Soit A un endomorphisme de R^n tel que A^q - In = 0 avec q entier naturel
non nul
Montrer que

dim(Ker(A-In)) = 1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))

[Anonyme]

Connais tu les polynomes minimaux ?
Oui, il doit bien y avoir une solution plus
pedestre mais sait on jamais ....
Amities,
Olivier

[Anonyme]

"Olivier" a écrit dans le message de news:
41dc62af$0$2743$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Connais tu les polynomes minimaux ?
> Oui, il doit bien y avoir une solution plus
> pedestre mais sait on jamais ....
> Amities,
> Olivier
>
non je ne connais pas les polynomes minimaux... je pensais qu'il devait
exister une solution "élémentaire" ) à cet exercice

[Anonyme]

Bon, alors, un peu plus pedestre ...
On trigonalise. On alors on sait que
A est diagonalisable et c'est fini, mais ca ne saute
peut etre pas aux yeux.

On regarde les valeurs possibles sur la diagonale
et on en deduit une interpretation de
1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q)
en fonction du nombre de 1 sur cette diagonale.

Ensuite, il faut montrer que la valeur propre 1
est en fait diagonalisable, i.e. que l'espace
caracteristique lie a 1 est egal a l'espace propre
lie a cette meme valeur propre. Ca doit se faire.
Un appel a la decomposition de Jordan peut etre ?

Voila des idees un peu en vrac, pour faire avancer
le schmillblick.
JQCA,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Il faut penser à écrire A^q-In = (A-In)[A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I] (E1)
De l'égalité (E1) et A^q-In = 0 on déduit que
Im{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I} est inclus dans ker{A-In}, A et In commutent
on a :
ker{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I} est inclus dans Im{A-In}.
Donc finalement à l'aide du théorème du rang on obtient :
dim{ker(A-In)}=rang{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I}.
Il te reste à montrer que
rang{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I}=1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))
Remarque : tu peux remplacer I par A^q.

Voilà c'est tout.

marc a écrit :
> VOici l'exercice sur lequel je bute depuis longtemps pourriez vous m'aider
> merci
>
> Soit A un endomorphisme de R^n tel que A^q - In = 0 avec q entier naturel
> non nul
> Montrer que
>
> dim(Ker(A-In)) = 1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))
>
>

[Anonyme]

soutiens maths wrote:
> Il faut penser à écrire A^q-In = (A-In)[A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I] (E1)
> De l'égalité (E1) et A^q-In = 0 on déduit que
> Im{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I} est inclus dans ker{A-In}, A et In commutent
> on a :
> ker{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I} est inclus dans Im{A-In}.
> Donc finalement à l'aide du théorème du rang on obtient :
> dim{ker(A-In)}=rang{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I}.
> Il te reste à montrer que
> rang{A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I}=1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))
> Remarque : tu peux remplacer I par A^q.
>
> Voilà c'est tout.

Ben, ce n'est plus très difficile de conclure alors.
Si on pose P = (A^(q-1)+A^(q-2)+...+A+I)/q, il s'agit de montrer que
Tr(P)=rang(P). Pour cela, on vérifie, en utilisant la relation A^q = I,
que P est un projecteur (on calcule P^2).

[Anonyme]

"marc" a écrit dans le message de news:
41dc5072$0$27166$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> VOici l'exercice sur lequel je bute depuis longtemps pourriez vous m'aider
> merci
>
> Soit A un endomorphisme de R^n tel que A^q - In = 0 avec q entier naturel
> non nul
> Montrer que
>
> dim(Ker(A-In)) = 1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))

A est diagonalisable sur C car le polynôme X^q-1 est scindé à racines
simples sur C.
Soient (a1,,,,ap) les valeurs propres deux à deux distinctes de A, ce sont
donc des racines de X^q-1 donc ce sont des racines q-ième de l'unité
Il exite une matrice inversible P à coefficient complexe telle que
P^(-1)AP=diag(a1,..,a1,a2,..,a2,....,ap,...,ap)
donc
(P^(-1)AP)^i=P^(-1)A^iP=diag([a1]^i,..,[a1]^i,[a2]^i,..,[a2]^i,....,[ap]^i,.
...,[ap]^i)

(remarque tr(A^i) = n(1)[a1]^i + n(2)[a2]^i + ... + n(p)[ap]^i ], où n(j)
est la multiplicité de aj)

La somme Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q)) se calcule en fonction des
sommes(k=1 à q, [ai]^k) et des multiplicités des racines (utiliser Fubini
pour les doubles sommes) puis revoir le cours de sup pour voir que pour
toutes les racines q-ième de l'unité différente de 1, notée par exemple, z,
on a somme(k=1 à q, z^k)=0 et si z=1 alors somme(k=1 à q, z^k)=q
Alors la somme Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q)) est une somme de somme,
chacune de ces dernières sommes est nulle sauf celle correspondant à la
valeur propre 1 et le résultat en découle

(il y a néanmoins une petite subtilité, en passant dans C, tu obtiens la
dimension de Ker(A-In) sur C et non Ker(A-In) sur R. Il suffit de montrer
que ces deux dimensions sont égales puisque A est à coefficients réels. En
effet, si X+iY est dans Ker(A-In), Alors A(X+iY)=0 AX=0 et AY=0, donc
dim_R(Ker(A-In) sur C) = 2 dim_R(Ker(A-In) sur R) (par le R-iso,
(X+iY)--->(X,Y) ) et comme il est classique que dim_R(E)=2dim_C(E), tu en
déduis que dim_R(Ker(A-In) sur C)=dim_C(Ker(A-In) sur R)

Essaie de le faire seul, et si tu bloques complètement (mais je ne pense
pas, tu trouveras le corrigé sur mon site). Bien entendu, il est inutile de
regarder directement le corrigé car au concours, tu seras seuls et donc pas
d'aide

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[Anonyme]

Olivier écrit:

> Bon, alors, un peu plus pedestre ...
> On trigonalise. On alors on sait que
> A est diagonalisable et c'est fini, mais ca ne saute
> peut etre pas aux yeux.

Méfiance! L'énoncé précise que A est un endomorphisme de R^n. Donc... on
ne peut pas trigonaliser sur R^n. Je sais que cela ne doit pas nous
empécher de trigonaliser sur C^n, mais ce n'est peut être pas la méthode
attendue dans le contexte où l'exercice a été posé.

Vu l'énoncé, j'imagine que l'on connait le lemme de décomposition des
noyaux:
si P et Q sont deux polynomes premiers entre eux, alors : le noyau de
P(A)Q(A) est la somme directe des noyaux de P(A) et de Q(A),

d'où l'on déduit :

Ker(A^q-I) = Ker(A-I) (+) Ker(A^{q-1}+...+A+I)
i.e: R^n = Ker(A-I) (+) Ker(A^{q-1}+...+A+I)

On peut donc choisir une base de R^n constituée :
- de vecteurs propres de A pour la valeur propre 1,
- de vecteurs dans Ker(A^{q-1}+...+A+I)

Si on calcule dans cette base somme(A^i) pour i=1 à q, on obtient :
| qI 0|
somme(A^i)= | 0 0|

puisque, sur Ker(A-I), A(x)=x pour tout x, donc somme(A^i(x))=qx,
et sur Ker(A^{q-1}+...+A+I), (A^{q-1}+...+A+I)(x)=0, donc somme(A^i(x))=
0.

En calculant la trace de A, on obtient le résultat.

--
B.R

[Anonyme]

> Méfiance! L'énoncé précise que A est un endomorphisme de R^n. Donc... on
> ne peut pas trigonaliser sur R^n. Je sais que cela ne doit pas nous
> empécher de trigonaliser sur C^n, mais ce n'est peut être pas la méthode
> attendue dans le contexte où l'exercice a été posé.

Oui, je suis rouille sur ce genre de mecanique, je ne sais plus
comment je faisais avant que je ne fasse comme maintenant
Et melanger les corps de base est quand meme un peu cavalier

Corriger pour le lecteur de passage est une excellente idee, faudrait
pas laisser croire que l'on peut toujours trigonaliser sur R (ou
que l'endomorphisme en question soit diagonalisable sur R).

Ceci dit, heureusement, je n'ai pas trop fait de bruit
Amities -- et merci -- ,
Olivier

[Anonyme]

"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41dd0117$0$3502$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
>
> "marc" a écrit dans le message de news:
> 41dc5072$0$27166$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> VOici l'exercice sur lequel je bute depuis longtemps pourriez vous
>> m'aider
>> merci
>>
>> Soit A un endomorphisme de R^n tel que A^q - In = 0 avec q entier naturel
>> non nul
>> Montrer que
>>
>> dim(Ker(A-In)) = 1/q * Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q))
>
> A est diagonalisable sur C car le polynôme X^q-1 est scindé à racines
> simples sur C.
> Soient (a1,,,,ap) les valeurs propres deux à deux distinctes de A, ce sont
> donc des racines de X^q-1 donc ce sont des racines q-ième de l'unité
> Il exite une matrice inversible P à coefficient complexe telle que
> P^(-1)AP=diag(a1,..,a1,a2,..,a2,....,ap,...,ap)
> donc
> (P^(-1)AP)^i=P^(-1)A^iP=diag([a1]^i,..,[a1]^i,[a2]^i,..,[a2]^i,....,[ap]^i,.
> ..,[ap]^i)
>
> (remarque tr(A^i) = n(1)[a1]^i + n(2)[a2]^i + ... + n(p)[ap]^i ], où n(j)
> est la multiplicité de aj)
>
> La somme Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q)) se calcule en fonction des
> sommes(k=1 à q, [ai]^k) et des multiplicités des racines (utiliser Fubini
> pour les doubles sommes) puis revoir le cours de sup pour voir que pour
> toutes les racines q-ième de l'unité différente de 1, notée par exemple,
> z,
> on a somme(k=1 à q, z^k)=0 et si z=1 alors somme(k=1 à q, z^k)=q
> Alors la somme Somme (tr(A^i) pour i=1 à i=q)) est une somme de somme,
> chacune de ces dernières sommes est nulle sauf celle correspondant à la
> valeur propre 1 et le résultat en découle
>
> (il y a néanmoins une petite subtilité, en passant dans C, tu obtiens la
> dimension de Ker(A-In) sur C et non Ker(A-In) sur R. Il suffit de montrer
> que ces deux dimensions sont égales puisque A est à coefficients réels. En
> effet, si X+iY est dans Ker(A-In), Alors A(X+iY)=0 AX=0 et AY=0, donc
> dim_R(Ker(A-In) sur C) = 2 dim_R(Ker(A-In) sur R) (par le R-iso,
> (X+iY)--->(X,Y) ) et comme il est classique que dim_R(E)=2dim_C(E), tu en
> déduis que dim_R(Ker(A-In) sur C)=dim_C(Ker(A-In) sur R)
>
> Essaie de le faire seul, et si tu bloques complètement (mais je ne pense
> pas, tu trouveras le corrigé sur mon site). Bien entendu, il est inutile
> de
> regarder directement le corrigé car au concours, tu seras seuls et donc
> pas
> d'aide
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Merci à tous vos différentes réponses m'ont été très utiles
merci beaucoup