Dimension d'une somme d'EV

[Anonyme]

Hello,

Un ami me demande de l'aider, mais ça fait qq temps que je n'ai pas fait
de maths.

Soit E un ev (R^3 par exemple) , F = Vect(v1,v2,v3) et G = Vect(v4,v5).
On me demande de calculer la dimension de F, G, F + G et F inter G.
(les vecteurs sont données par leur valeur concrête que je ne réecris
pas ici).

Pouvez vous me dire si ma méthode est la plus simple (je n'en vois pas
d'autre, mais on ne sait jamais).

Pour F :
Je regarde si la famille v1,v2,v3 est libre (je ne veux pas utiliser le
determinant). Je considere l'equation a.v1 + b.v2 + c.v3 = 0.
Soit elle n'admet que l'unique solution a = b = c = 0 et la famille est
libre et dim(F) = 3. Soit elle ne l'est pas, et je trouve au passage un
vecteur combinaison linéaire des deux autres (disons voir v3).
J'ai alors F = Vect(v1,v2) et je réitère le processus.

Idem pour G.

Pour F + G, je remarque que v1,...,v5 engendre F + G et je procède comme
avant. La ça fait 5 vecteurs donc ça commence à être pénible.
L'autre méthode est de determiner le rang de la matrice de v1,...,v5
à l'aide d'opérations qui preservent le rang, mais je pense pas qu'il
connaisse déjà cette méthode.
Est-ce qu'à partir du systeme a1.v1 + ... + a5.v5 = 0 je peux facilement
voir le rang de la famille (sans doute en mettant également sous forme
triangulaire non ?) ?

Pour F inter G, je peux appliquer directement la formule dim(F inter G)
= ....

Quelle serait l'autre méthode ?
Parmi les 5 vecteurs v1,...,v5 je regarde systématiquement lesquels
sont à la fois dans F et dans G en résolvant à chaque fois un systeme
du style (v1 = a v4 + b v5). Admettons, que seuls u,v,w sont dans F et
dans G. J'ai alors vect(u,v,w) inclus dans F inter G. Comment justifier
que la réciproque est vraie ?


Pour finir, si j'ai une famille v1,...,vn que je sais être libre.
Et qu'on me demande de montrer que v1,...,vn,u est libre. Quelle
est la manière la plus simple de faire ça ? je considére l'équation
u = a1.v1 + ... + an.vn et je montre qu'elle n'a pas de solution ?


Merci d'avance

JS

[Anonyme]

John Smith wrote:
> Hello,
>
> Un ami me demande de l'aider, mais ça fait qq temps que je n'ai pas fait
> de maths.
>
> Soit E un ev (R^3 par exemple) , F = Vect(v1,v2,v3) et G = Vect(v4,v5).
> On me demande de calculer la dimension de F, G, F + G et F inter G.
> (les vecteurs sont données par leur valeur concrête que je ne réecris
> pas ici).
>
> Pouvez vous me dire si ma méthode est la plus simple (je n'en vois pas
> d'autre, mais on ne sait jamais).
>
> Pour F :
> Je regarde si la famille v1,v2,v3 est libre (je ne veux pas utiliser le
> determinant).

Tu ne pourrais d'ailleurs utiliser de déterminant que si tu peux
exprimer tes vecteurs dans R^3.

> Je considere l'equation a.v1 + b.v2 + c.v3 = 0.
> Soit elle n'admet que l'unique solution a = b = c = 0 et la famille est
> libre et dim(F) = 3. Soit elle ne l'est pas, et je trouve au passage un
> vecteur combinaison linéaire des deux autres (disons voir v3).
> J'ai alors F = Vect(v1,v2) et je réitère le processus.

Ce ne devrait pas être nécessaire : si la famille est de rang 1, tu
trouveras une famille de solutions dépendant de 2 paramètres. Si le
rang est 2, les solutions ne dépendront plus que d'un paramètre.
Donc la résolution du système donne la dimension de F.

> Idem pour G.
>
> Pour F + G, je remarque que v1,...,v5 engendre F + G et je procède comme
> avant. La ça fait 5 vecteurs donc ça commence à être pénible.
> L'autre méthode est de determiner le rang de la matrice de v1,...,v5
> à l'aide d'opérations qui preservent le rang, mais je pense pas qu'il
> connaisse déjà cette méthode.

Dans le fond, ça revient au même (et pour cause) : les opérations
sur les lignes d'une matrice correspondent aux opérations sur les
équations d'un système telles qu'on les effectue par la méthode de
Gauss. L'avantage des matrices, c'et que tu peux aussi travailler
sur les colonnes, ce qu'on ne fait habituellement pas avec les
systèmes (changement de variable).

> Est-ce qu'à partir du systeme a1.v1 + ... + a5.v5 = 0 je peux facilement
> voir le rang de la famille (sans doute en mettant également sous forme
> triangulaire non ?) ?

Oui.

> Pour F inter G, je peux appliquer directement la formule dim(F inter G)
> = ....

Bien sûr ! Tu connais déjà dim(F + G), dim(F) et dim(G) !

> Quelle serait l'autre méthode ?
> Parmi les 5 vecteurs v1,...,v5 je regarde systématiquement lesquels
> sont à la fois dans F et dans G en résolvant à chaque fois un systeme
> du style (v1 = a v4 + b v5). Admettons, que seuls u,v,w sont dans F et
> dans G. J'ai alors vect(u,v,w) inclus dans F inter G. Comment justifier
> que la réciproque est vraie ?

Non, problème ici. Il se peut que v1 + v2 appartienne à G sans que
ni v1 ni v2 n'y soient. Il faudrait en fait résoudre un système
av1 + bv2 + cv3 = dv4 + ev5

> Pour finir, si j'ai une famille v1,...,vn que je sais être libre.
> Et qu'on me demande de montrer que v1,...,vn,u est libre. Quelle
> est la manière la plus simple de faire ça ? je considére l'équation
> u = a1.v1 + ... + an.vn et je montre qu'elle n'a pas de solution ?

Oui, ou encore par la matrice (presque kif kif).

Au vu de ton énoncé, ja parie sur la solution suivante :
dim(F) = dim(G) = 2, dim(F+G) = 3, dim(F inter G) = 1