Dimension d'un EV

[Anonyme]

Bonjour,

Quelle est la différence (de dimension) entre un ev E vu comme un R-ev ou
comme un C-ev ?

[Anonyme]

"Antoine" a écrit dans le message de
news:4080ecb9$0$20147$636a15ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Quelle est la différence (de dimension) entre un ev E vu comme un R-ev ou
> comme un C-ev ?

Un facteur 2. (dim_R = 2* dim_C)

[Anonyme]

> > Quelle est la différence (de dimension) entre un ev E vu comme un R-ev
ou[color=green]
> > comme un C-ev ?
>
> Un facteur 2. (dim_R = 2* dim_C)[/color]

Quelles sont les bases de E dans les deux cas?

[Anonyme]

> > > Quelle est la différence (de dimension) entre un ev E vu comme un R-ev
> ou[color=green][color=darkred]
> > > comme un C-ev ?
> >
> > Un facteur 2. (dim_R = 2* dim_C)[/color]
>
> Quelles sont les bases de E dans les deux cas?[/color]

Si (e_1, ..., e_n) est une C-base de E, (e_1, i*e_1, ..., e_n, i*e_n) en est
une R-base.

--
Maxi

[Anonyme]

> Si (e_1, ..., e_n) est une C-base de E, (e_1, i*e_1, ..., e_n, i*e_n) en
est une R-base.

(1,i) est une base de C vu comme un R-ev.
(1) est une base de C vu comme un C-ev ou ceci n'a pas de sens?

[Anonyme]

"Antoine" a écrit dans le message de
news:40818242$0$487$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
> > Si (e_1, ..., e_n) est une C-base de E, (e_1, i*e_1, ..., e_n, i*e_n) en
> est une R-base.
>
> (1,i) est une base de C vu comme un R-ev.
> (1) est une base de C vu comme un C-ev ou ceci n'a pas de sens?[/color]

Oui, c'est ça. Un corps K est un espace vectoriel sur K de dimension 1, et
une base est l'élément unité de K. De manière générale, on montre qu'un
surcorps L de K est un K-ev, mais pas forcément de dimension finie. R est un
Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas comment le
démontrer??).

[Anonyme]

CB a écrit:
> "Antoine" a écrit dans le message de
> news:40818242$0$487$636a15ce@news.free.fr...
>[color=green][color=darkred]
>>>Si (e_1, ..., e_n) est une C-base de E, (e_1, i*e_1, ..., e_n, i*e_n) en
>>
>>est une R-base.
>>
>>(1,i) est une base de C vu comme un R-ev.
>>(1) est une base de C vu comme un C-ev ou ceci n'a pas de sens?[/color]
>
>
> Oui, c'est ça. Un corps K est un espace vectoriel sur K de dimension 1, et
> une base est l'élément unité de K. De manière générale, on montre qu'un
> surcorps L de K est un K-ev, mais pas forcément de dimension finie. R est un
> Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas comment le
> démontrer??).[/color]

Cet infini, AMHA, est le rapport entre le cardinal de R (aleph1,
cardinal de l'ens des parties de N) et le cardinal du dénombrable
(aleph0, ou cardinal de N) car chaque Q[a] avec a irrationnel est
'seulement' dénombrable.

[Anonyme]

> Oui, c'est ça. Un corps K est un espace vectoriel sur K de dimension 1, et
> une base est l'élément unité de K. De manière générale, on montre qu'un
> surcorps L de K est un K-ev, mais pas forcément de dimension finie. R est
un
> Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas comment le
> démontrer??).

Si R était de dimension finie n sur Q, il serait isomorphe à Q^n, donc
dénombrable.

--
Maxi

[Anonyme]

"Maxi" a écrit dans le message de
news:4082771c$0$22870$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > Oui, c'est ça. Un corps K est un espace vectoriel sur K de dimension 1,[/color]
et[color=green]
> > une base est l'élément unité de K. De manière générale, on montre qu'un
> > surcorps L de K est un K-ev, mais pas forcément de dimension finie. R[/color]
est
> un[color=green]
> > Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas comment le
> > démontrer??).
>
> Si R était de dimension finie n sur Q, il serait isomorphe à Q^n, donc
> dénombrable.[/color]

C'est parce que un produit d'ensembles dénombrables est dénombrable? Comment
on le démontre? Peut-on dire que c'est parce que, par exemple, Q^2 = union
pour q \in Q de {q} x Q, et que chacun de ces ensembles est dénombrable?

[Anonyme]

"Maxi" a écrit
[color=green]
> > R est un Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas[/color]
comment le[color=green]
> > démontrer??).
>
> Si R était de dimension finie n sur Q, il serait isomorphe à Q^n, donc
> dénombrable.
>[/color]

Plus pédestre : le polynôme P(x) = x^n - 2 est irréductible sur Q et
possède une seule racine réelle positive a.
La famille (1, a, a²,..., a^(n-1)) est libre sur Q car une relation
linéaire non triviale induirait une factorisation non triviale de P(x)
sur Q.

Comme n est arbitraire, R n'est pas de dimension finie sur Q.

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Stéphane Ménart" a écrit dans le message de
news:40829705$0$16626$79c14f64@nan-newsreader-01.noos.net...
> "Maxi" a écrit
>[color=green][color=darkred]
> > > R est un Q-ev de dimension infinie (par contre je ne sais pas[/color]
> comment le[color=darkred]
> > > démontrer??).
> >
> > Si R était de dimension finie n sur Q, il serait isomorphe à Q^n, donc
> > dénombrable.
> >[/color]
>
> Plus pédestre : le polynôme P(x) = x^n - 2 est irréductible sur Q et
> possède une seule racine réelle positive a.
> La famille (1, a, a²,..., a^(n-1)) est libre sur Q car une relation
> linéaire non triviale induirait une factorisation non triviale de P(x)
> sur Q.
>
> Comme n est arbitraire, R n'est pas de dimension finie sur Q.[/color]

Pas mal! Mais c'est bizarre, j'avais cru lire un jour que c'était très dur a
démontrer, qu'il fallait utiliser les groupes de Galois ou je ne sais
quoi...

[Anonyme]

CB a écrit :
> Pas mal! Mais c'est bizarre, j'avais cru lire un jour que c'était très dur a
> démontrer, qu'il fallait utiliser les groupes de Galois ou je ne sais
> quoi...

Ce qui est dur, c'est sans doute de montrer que la dimension n'est pas
dénombrable (je crois, j'ai un doute maintenant :\)

--
Nico.

[Anonyme]

Nicolas Richard , dans le message (fr.education.entraide.maths:55356), a
écrit :
> Ce qui est dur, c'est sans doute de montrer que la dimension n'est pas
> dénombrable (je crois, j'ai un doute maintenant :\)

Bof, la preuve de Maxi s'applique encore : le cardinal d'un Q-ev de
dimension dénombrable l'est encore puisqu'un tel espace s'identifie à
l'ensemble des suites de rationnels nulles à partir d'un certain rang.

[Anonyme]

Xavier Caruso a écrit :
> Bof, la preuve de Maxi s'applique encore : le cardinal d'un Q-ev de
> dimension dénombrable l'est encore puisqu'un tel espace s'identifie à
> l'ensemble des suites de rationnels nulles à partir d'un certain rang.

Ah ben voui, 'a m'apprendra à réfléchir ça.

--
Nico, que "Dans le doute, abstiens-toi", on avait dit!

[Anonyme]

> C'est parce que un produit d'ensembles dénombrables est dénombrable?
Comment
> on le démontre? Peut-on dire que c'est parce que, par exemple, Q^2 = union
> pour q \in Q de {q} x Q, et que chacun de ces ensembles est dénombrable?


Oui. Une preuve sympa qu'un produit de deux ensembles dénombrables est
dénombrable est:
l'application de (N*)x(N*) dans N qui a (m,n) associe 2^m*3^n est injective
(unicité de la décomposition en facteurs premiers).
On en déduit ensuite qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est
dénombrable.

--
Maxi