Théorème de Rolle en dimension n

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai une fonction de R^n dans R dont j'aimerais déterminer le nombre de
0 (ou au moins une borne supérieure). J'avais pensé regarder quelle
était la première fonction dérivée à ne plus jamais s'annuler, en
faisant une analogie avec le théorème de Rolle 1D, mais je ne suis pas
sûr qu'on puisse (je commence même à m'assurer du contraire). Y
aurait-il cependant une version du théorème de Rolle en dimension n qui
permettrait de dire des choses intéressantes ?

Merci beaucoup.

--
Nicolas
PS: ma fonction n'est _pas_ un polynôme

[Anonyme]

On Thu, 27 Jan 2005 15:17:05 GMT, Nicolas Le Roux wrote:

> J'ai une fonction de R^n dans R dont j'aimerais déterminer le nombre de
> 0 (ou au moins une borne supérieure). J'avais pensé regarder quelle
> était la première fonction dérivée à ne plus jamais s'annuler, en
> faisant une analogie avec le théorème de Rolle 1D, mais je ne suis pas
> sûr qu'on puisse (je commence même à m'assurer du contraire). Y
> aurait-il cependant une version du théorème de Rolle en dimension n qui
> permettrait de dire des choses intéressantes ?

Bon, j'ai trouvé ça:

http://www.math.utoledo.edu/~jevard/Page038.htm

Je vais déjà regarder ce qu'il y a dedans.

--
Nicolas

[Anonyme]

On Thu, 27 Jan 2005 15:56:20 GMT, Nicolas Le Roux wrote:

> Bon, j'ai trouvé ça:
>
> http://www.math.utoledo.edu/~jevard/Page038.htm
>
> Je vais déjà regarder ce qu'il y a dedans.

Bah ce ne sont que des extensions pour des fonctions de R dans R^n alors
que j'ai une fonction de R^n dans R. Prout alors. Donc je suis toujours
intéressé par vos précieux conseils.

--
Nicolas

[Anonyme]

Bonjour,

Rapidement : voir du cote du theoreme des accroissements
finis qui, lui, (sous une certaine forme) est valable dans ton cas.
Et approche ta fonction par un polynome.

Maintenant, pour ton probleme, regarde plutot du cote du theoreme
des fonctions implicites. Ici, grosso modo, si n>=2 et que tu disposes
d'une solution (x10,...,xn0) de f(x1,...,xn)=0, alors au voisinage
de ce point tu risques de trouver une courbe entiere de solutions ...
Moralement f(x1,...,xn)=0 est une equation entre n variables, il en reste
donc n-1 de libres, et cela donne une courbe-surface-chose de dimension
n-1 ...
Essaie avec f(x,y)=x^2+y^2-1 et la solution (1,0) ..............
Voili, voilou. Bref, il y a probablement une infinite de solutions
a ton equation.
JQCA,
Amities,
Olivier

[Anonyme]

On Thu, 27 Jan 2005 17:42:37 +0100, Olivier wrote:

> Moralement f(x1,...,xn)=0 est une equation entre n variables, il en reste
> donc n-1 de libres, et cela donne une courbe-surface-chose de dimension
> n-1 ...
> Essaie avec f(x,y)=x^2+y^2-1 et la solution (1,0) ..............
> Voili, voilou. Bref, il y a probablement une infinite de solutions
> a ton equation.

En fait ma fonction est une somme de gaussiennes (avec des coefficients
positifs ou négatifs) multivariées (donc de R^n dans R). Mon but est de
compter les zones dont la frontière est une courbe de niveau 0 de ma
somme de gaussiennes. Dans ce cas, ma somme de gaussiennes atteint un
extrémum dans cette zone et donc j'ai des points (isolés il me semble
mais c'est pas sûr) ou la dérivée est nulle dans toutes les directions.
Mais pour les itérations suivantes, ça coince.

Je regarde le reste de ton post maintenant

--
Nicolas

[Anonyme]

> En fait ma fonction est une somme de gaussiennes (avec des coefficients
> positifs ou négatifs) multivariées (donc de R^n dans R). Mon but est de
> compter les zones dont la frontière est une courbe de niveau 0 de ma
> somme de gaussiennes. Dans ce cas, ma somme de gaussiennes atteint un
> extrémum dans cette zone et donc j'ai des points (isolés il me semble
> mais c'est pas sûr) ou la dérivée est nulle dans toutes les directions.
> Mais pour les itérations suivantes, ça coince.

Dans ce cas, l'examen de la forme quadratique issue des derivees
secondes doit (probablement) etre definie positive, ou negative,
bref, une belle "cloche" sur le dessin.
Good luck !
Amities,
Olivier