"Masterbech" a écrit dans le message de news:
41ddc729$0$3514$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
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> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 41dd6630$0$18275$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > je retente ma chance puisque personne n'a répondu en espérant qu'il[/color]
n'est
[color=green]
> > pas interdit de reposter un meme message meme si celui ci semble etre> tombé
> > dans l'oubli... 
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> > "bonjour je bloque sur un exercice et malgré plusieurs essais je ne> parviens[color=green]
> > pas a avancer
> > voici l'énoncé :
> > en posant C le corps des complexes
> > V un sév de Mn(C) tq quels que soient (A,B) appartenant à V on ait AB=BA
> > Mq dimV{0}
Premier cas : il existe un élément A de V admettant au moins 2 valeurs
propres distinctes.
Par définition, V est contenu dans le commutant de A (ensemble des matrices
commutant avec A)
Notons a1,...,ap ses p valeurs propres distinctes (p>=1) et r1, .., rp les
multiplicités respectives (donc r1>=1, .., rp>=1)
Les espaces ker(A-ai)^(ri) sont stables par tous les éléments de V et comme
(A-ai)^(ri) est un polynôme en A, le résultat fondamental de la réduction
implique que pour chaque i, l'espace vectoriel ker(A-ai)^(ri) est stable par
tous les éléments de V
Par conséquent, il existe une matrice P telle que P^(-1)BP=diag(B1,..,Bp) où
Bi est une matrice de taille ri
Notons Vi l'ensemble des matrices Bi, lorsque B décrit V
Vi est un espace vectoriel de M_ri(C) dont tous les éléments commutent (par
commutation de tous les éléments de V)
Puisque 1
[sum(i=1 à p, (ri)^2/4 ] + p
[sum(i=1 à p, (ri)^2/4 ] + p
2(p-1) =1 pour tout i, on a
[sum(1= sum(1= 2(p-1)
donc l'hypothèse au rang n est vraie.
Deuxième cas : tous les éléments de V n'admettent qu'une seule valeur propre
alors tous les éléments de V sont de la forme a*I+N où N est une matrice
nilpotente (trigonalisation)
J'admet la réduction de Jordan (je ne sais pas faire autrement, faut dire
que je n'y ai pas trop réfléchi)
Premier sous-cas : S'il existe au moins un élément N admettant au moins deux
blocs de Jordan, on peut appliquer le raisonnement précédent en remplaçant
les blocs Bi par les blocs associés à réduction de Jordan et l'hypothèse de
récurrence au rang n est prouvée
Deuxième sous-cas : Si tout élément N n'admet qu'un seul bloc de Jordan.
Fixons un élément N (dont tous les éléments sont nuls sauf une certaine
sous-diagonale de longueur p<=n (p la nilpotence de N)). Puisque la
commutation avec a*I+N est équivalente avec la commutation avec N, on en
déduit que V est inclu dans le commutant de N et il est aisé de vérifier que
ce commutant consistant en les polynômes en N donc la dimension du commutant
de N est inférieur ou égal à p donc à n. Par conséquent, dim(V) <= n et n<=
n^2/4 +1 (n^2/4-n+1=(n-2)^2/4) donc dim(V) <= n^2/4 +1 donc l'hypothèse de
récurrence au rang n est prouvée
Ainsi, la récurrence s'achève et la propriété est prouvée
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