Densité de GLn(K) dans Mn(K)

[Anonyme]

Bonjour,

on me demande de montrer que le groupe lineaire est dense dans Mn, en utilisant
les matrices Jr

Ben je connais une démo utilisant une suite A=Ap+1/p*In puis raisonnant sur les
valeurs de A pour montrer que pour p assez grand les matrices A sont toutes
inversibles. Mais ici utiliser Jr, je ne vois pas le truc. Je sais que pour une
matrices non inversible de rang r, on a M=Q*Jr*P, Q et P inversibles.

[Anonyme]

Wenceslas wrote:
> on me demande de montrer que le groupe lineaire est dense dans Mn, en utilisant
> les matrices Jr
>
> Ben je connais une démo utilisant une suite A=Ap+1/p*In puis raisonnant sur les
> valeurs de A pour montrer que pour p assez grand les matrices A sont toutes
> inversibles. Mais ici utiliser Jr, je ne vois pas le truc. Je sais que pour une
> matrices non inversible de rang r, on a M=Q*Jr*P, Q et P inversibles.

P'être utiliser le fait que l'ensemble de smatrices de rang r donné est
fermé et compléter Jr par des 1/n pour le rendre inversible ?

[Anonyme]

Osiris wrote:

> Wenceslas wrote:[color=green]
> > on me demande de montrer que le groupe lineaire est dense dans Mn, en
> > utilisant les matrices Jr
> >
> > Ben je connais une démo utilisant une suite A=Ap+1/p*In puis raisonnant
> > sur les valeurs de A pour montrer que pour p assez grand les matrices A
> > sont toutes inversibles. Mais ici utiliser Jr, je ne vois pas le truc.
> > Je sais que pour une matrices non inversible de rang r, on a M=Q*Jr*P, Q
> > et P inversibles.
>
> P'être utiliser le fait que l'ensemble de smatrices de rang r donné est
> fermé[/color]

Pas vraiment la peine de l'utiliser, en fait (bien que ce soit utile de
connaitre ce résultat).

>et compléter Jr par des 1/n pour le rendre inversible ?

Ca oui, tu appelles K_p la matrice J_r complétée par des 1/p sur la
diagonale : elle est inversible et converge vers J_r lorsque p tend vers
l'infini.

Tu considères enfin une matrice M de M_n quelconque, elle s'écrit
M=P*J_r*Q avec P et Q inversibles (et r=rg(M)), la suite de matrices
M_p:=P *K_p* Q est composée de matrices inversibles et converge
(continuité du produit) vers P*J_r*Q=M. Conclusion : toute matrice est
limite de matrices inversibles cqfd.
--
[Sergio]

PS : Enlever idon et .invalid à mon adresse pour me répondre.