Densité de probabilité

[Anonyme]

Bonjour.

Etant donnée une variable aléatoire réelle absolument continue X sur un
espace probabilisé (Omega, A, P) de densité f_X, une application g:
lR->lR, et une nouvelle variable alétoire sur Omega notée Y=g(X), je
cherche à calculer la densité de Y que je note f_Y.

La méthode que je connais est la suivante :

On considère une application h: lR-> lR continue et bornée.
On part de E(h(Y)) :
E(h(Y)) = int_Omega h(g(X)) dP
= int_lR h(g(x)) dP_X(x) (par le th de la probabilité-image)
= int_lR h(g(x)) * f_X(x) dx
On fait un changement de variable y=g(x)
(éventuellement en séparant l'intégrale en plusieurs morceaux pour
qu'il n'y ait pas de problème au niveau des domaines)
et on obtient :
= int_lR h(y) * k(y) dy
(k(y) contient éventuellement une indicatrice de manière à ce que l'on
ait bien une intégrale sur lR).
La fonction k obtenue est la densité de Y=g(X).

La question que je me pose est :
Pourquoi k est-elle bien la densité de Y ?
Je suis bien d'accord que :
E(h(Y)) = int_lR h(y) * k(y) dy
et que E(h(Y)) = int_lR h(y) * f_Y(y) dy (par le th de la
probabilité-image).
Mais pourquoi peut-on en déduire que k = f_Y ?
Il existe pourtant bien des fonctions différentes dont les intégrales
sont égales.

Merci de votre aide.
Romain.

[Anonyme]

Dans le message news:mn.839c7d5539e64fb4.31576@nospam,
M. a écrit:
> Bonjour.
>
> Etant donnée une variable aléatoire réelle absolument continue X sur
> un espace probabilisé (Omega, A, P) de densité f_X, une application g:
> lR->lR, et une nouvelle variable alétoire sur Omega notée Y=g(X), je
> cherche à calculer la densité de Y que je note f_Y.
>
> La méthode que je connais est la suivante :
>
> On considère une application h: lR-> lR continue et bornée.
> On part de E(h(Y)) :
> E(h(Y)) = int_Omega h(g(X)) dP
> = int_lR h(g(x)) dP_X(x) (par le th de la probabilité-image)
> = int_lR h(g(x)) * f_X(x) dx
> On fait un changement de variable y=g(x)
> (éventuellement en séparant l'intégrale en plusieurs morceaux pour
> qu'il n'y ait pas de problème au niveau des domaines)
> et on obtient :
> = int_lR h(y) * k(y) dy
> (k(y) contient éventuellement une indicatrice de manière à ce que l'on
> ait bien une intégrale sur lR).
> La fonction k obtenue est la densité de Y=g(X).
>
> La question que je me pose est :
> Pourquoi k est-elle bien la densité de Y ?
> Je suis bien d'accord que :
> E(h(Y)) = int_lR h(y) * k(y) dy
> et que E(h(Y)) = int_lR h(y) * f_Y(y) dy (par le th de la
> probabilité-image).
> Mais pourquoi peut-on en déduire que k = f_Y ?
> Il existe pourtant bien des fonctions différentes dont les intégrales
> sont égales.
>
> Merci de votre aide.
> Romain.

Oui mais E(h(Y)) = int_lR h(y) * k(y) dy pour toute fonction h continue
et bornée.
C'est le "pour toute" qui est important.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

On Mon, 16 May 2005 15:24:20 +0200, "M." wrote:

>Bonjour.
>
>Etant donnée une variable aléatoire réelle absolument continue X sur un
>espace probabilisé (Omega, A, P) de densité f_X, une application g:
>lR->lR, et une nouvelle variable alétoire sur Omega notée Y=g(X), je
>cherche à calculer la densité de Y que je note f_Y.
>
>La méthode que je connais est la suivante :
>
>On considère une application h: lR-> lR continue et bornée.
>On part de E(h(Y)) :
>E(h(Y)) = int_Omega h(g(X)) dP
>= int_lR h(g(x)) dP_X(x) (par le th de la probabilité-image)
>= int_lR h(g(x)) * f_X(x) dx
>On fait un changement de variable y=g(x)
>(éventuellement en séparant l'intégrale en plusieurs morceaux pour
>qu'il n'y ait pas de problème au niveau des domaines)
>et on obtient :
>= int_lR h(y) * k(y) dy
>(k(y) contient éventuellement une indicatrice de manière à ce que l'on
>ait bien une intégrale sur lR).
>La fonction k obtenue est la densité de Y=g(X).
>
>La question que je me pose est :
>Pourquoi k est-elle bien la densité de Y ?
>Je suis bien d'accord que :
>E(h(Y)) = int_lR h(y) * k(y) dy
>et que E(h(Y)) = int_lR h(y) * f_Y(y) dy (par le th de la
>probabilité-image).
>Mais pourquoi peut-on en déduire que k = f_Y ?
ca doit être parceque c'est vrai pour toute h
int_h*u=int_h*v => int_h*(u-v)=0
et on prend h=u-v
mais bon faut peut être préciser les hypo (continuité) pour être sûr
que u-v soit alors la fonction nulle
>Il existe pourtant bien des fonctions différentes dont les intégrales
>sont égales.
>
>Merci de votre aide.
>Romain.
>
mais ce k n'est pas vraiemnt explicité en fonction de f_X et g
moi j'ai comme formule si
g monotone la densité de Y est
f_X(g^-1(y))/|g'(g^-1(y))|
(on part de P(Y<y) que l'on calcule en faisant apparaître X)

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

[Anonyme]

Merci pour vos réponses.
Je n'avais en fait pas bien compris d'où sortait cette fonction h, et à
quoi elle servait.