Densité et intérieur

[Anonyme]

Bonsoir, voici mon problème (qui se trouve à la fin pour ceux qui n'auraient
aps envie de tout lire...)
Merci de bien vouloir m'aider, j'ai passé du temps et ca m'énerve de ne pas
comprendre

Soit E=(C[0,1],R)
f et g 2 fcts continues

On définit
N_g : E->R qui a f associe int ( abs(fg) ,0,1)

CNS sur g pour que N_g soit une norme
N_g(af)=|a|N_g(f) ok
inegalité triangulaire ok

Montrons que N_g(f)=0 implique f=0
La CNS est: l'intérieur de A={x \in E tq g(x)=0}est vide

Si N_g(f)=0 alors fg=0 car f et g sont continues
Comme fg=0, et que g=0 sur A, f =0 sur le complémentaire de A
Comme le complémentaire de A est dense dans E et que f est continue f est
nulle. ok

Mais voila mon problème:
Si la CNS est: l'intérieur de A={x \in E tq g(x)=0}est vide, cela veut dire
que A est dense dans E, non?
Donc g est nulle?

[Anonyme]

Bonsoir

> Mais voila mon problème:
> Si la CNS est: l'intérieur de A={x \in E tq g(x)=0}est vide, cela veut
dire
> que A est dense dans E, non?

Non c'est X\A qui est dense dans E, comme tu l'as dit avant.

> Donc g est nulle?
>

Donc g n'est pas forcément nulle.

Là on a montré: si int(A)={}, alors l'axiome de séparation est vérifié. Faut
prouver l'implication réciproque, et c'est pas trop dur: par l'absurde si
fg=0 et int(A){}, alors int(A) est un ouvert non vide de R donc il existe
une boule ouverte B (ie un intervalle ouvert de rayon r>0) inclus dans A.
Mais alors f peut être non nulle sur un segment non vide inclus dans B,
contradiction.

--
js

[Anonyme]

> > Si la CNS est: l'intérieur de A={x \in E tq g(x)=0}est vide, cela veut
> dire[color=green]
> > que A est dense dans E, non?
>
> Non c'est X\A qui est dense dans E, comme tu l'as dit avant.[/color]

J'ai du mal a me représenter tout ca.
Si un ensemble est dense dans E, son complémentaire ne l'est pas forcément?

[Anonyme]

> J'ai du mal a me représenter tout ca.
> Si un ensemble est dense dans E, son complémentaire ne l'est pas
forcément?
>

Non ... utilise les formules: Adh(X\A)=X\(Int(A) et Int(X\A)=X\Adh(A).
Si Int(A) est vide il est clair que Adh(X\A)=X donc X\A est dense.
Mais par exemple R-{1} est dense dans R, pourtant {1} n'est pas dense dans
R...

[Anonyme]

"Antoine" a écrit dans le message de news:
3fe8b1de$0$19262$626a54ce@news.free.fr...[color=green][color=darkred]
> > > Si la CNS est: l'intérieur de A={x \in E tq g(x)=0}est vide, cela[/color][/color]
veut[color=green]
> > dire[color=darkred]
> > > que A est dense dans E, non?
> >
> > Non c'est X\A qui est dense dans E, comme tu l'as dit avant.[/color]
>
> J'ai du mal a me représenter tout ca.
> Si un ensemble est dense dans E, son complémentaire ne l'est pas[/color]
forcément?
R\{0} par exemple, R\graphe d'une fonction C1 (pour C0 je crois que c'est
faux car on doit être capable d'étendre la courbe de Peano à R^2)

[Anonyme]

Mais pour Q dans R ca marche
Plus sérieusement, il n'y a pas des théorèmes la dessus, du genre le
complementaire de A(dense dans E) est dense danse E ssi...

[Anonyme]

"Antoine" a écrit dans le message de news:
3fe8baf5$0$17119$626a54ce@news.free.fr...
> Mais pour Q dans R ca marche
> Plus sérieusement, il n'y a pas des théorèmes la dessus, du genre le
> complementaire de A(dense dans E) est dense danse E ssi...

pas à ma connaissance