Densite de Q dans R

[Anonyme]

Bonjour,

Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?

Merci.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Am 28/09/03 11:46, sagte Michel (overdose@alussinan.org) :

> Bonjour,
>
> Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?
>
> Merci.

soient a et b des réels, b > a

il existe un n de N, tel que 1/n < (b-a)

en prenant p tel que : p =< na <= p +1
(ie p = E (na) ), on obtient :
p/n =< a < p/n + /1/n

or p/n + 1/n < a + (b-a) = b

on a donc : p/n =< a < pn + 1/n < b

on a bien p/n + 1/n rationnel et compris entre a et b



albert

--

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[Anonyme]

Michel a écrit :
> Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?

Il suffit de montrer que tout irrationnel adhère à Q pour la topo de R.
Soit x un irrationnel. C'est un point d'accumulation de Q parce que pour
toute boule B(x,1/n) = (x-1/n,x+1/n) (on peut se restreindre aux boules
de rayon 1/n puisqu'elles forment une base de voisinage, n \in N\{0}),
on a un rationnel: E(nx)/n où E est la partie entière.

En effet:
nx <= E(nx) < nx+1 par définition de E
D'où:
x <= E(nx)/n < x + 1/n

Or x - 1/n < x donc on a:
E(nx)/n \in (x-1/n,x+1/n)

Et E(nx)/n est rationnel (quotient d'entiers, n étant non nul)

Pour toute boule centrée en un irrationnel on a donc une intersection
non nulle avec Q, donc tout irrationnel adhère à Q. Et l'union de Q et
des irrationnels est R qui est forcément fermé, on a donc trouvé notre
adhérence qui vaut R. Ce qui prouve la densité.

Bonne journée.

--
Nico.

[Anonyme]

"albert junior" a écrit dans le message
de news:BB9C7E45.15AAF%alberteinstein588***@hotmail.com...
> Am 28/09/03 11:46, sagte Michel (overdose@alussinan.org) :
>[color=green]
> > Bonjour,
> >
> > Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?
> >
> > Merci.
>
> soient a et b des réels, b > a
>
> il existe un n de N, tel que 1/n en prenant p tel que : p = (ie p = E (na) ), on obtient :
> p/n =
> or p/n + 1/n
> on a donc : p/n =
> on a bien p/n + 1/n rationnel et compris entre a et b
>
>
>
> albert
>
> --
>
> Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
> antworten
>[/color]

[Anonyme]

Michel wrote:

> Bonjour,
>
> Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?
>
> Merci.

bonjour,

ca depend de la construction de IR,je crois ;si tu choisis les suites de
cauchy ,ca en découle,si tu as choisi les coupures ,c'est plus technique
il me semble...

amicalement,ben

[Anonyme]

Am 28/09/03 20:26, sagte Ramier (ramier@january.com) :

[color=green]
>>
>> soient a et b des réels, b > a
>>
>> il existe un n de N, tel que 1/n
> Et ceci parce que R est archimédien mon p'tit Albert
>
archimédien ?? ca existe ça ?
enfin de toute façon je suppose qu'en mpsi on sait ca
et je ne vais pas mettre à chaque fois tous les lemmes triviaux qui
précedent


ne m'embêtes pas toi


albert

--

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[Anonyme]

Am 28/09/03 20:36, sagte benoit Delphan (bdelphan@club-internet.fr) :

> Michel wrote:
>[color=green]
>> Bonjour,
>>
>> Pouvez-vous me donner une démontration de ce résultat ?
>>
>> Merci.
>
> bonjour,
>
> ca depend de la construction de IR,je crois ;si tu choisis les suites de
> cauchy ,ca en découle,si tu as choisi les coupures ,c'est plus technique
> il me semble...[/color]


j'ai une nouvelle question : combien de démonstrations différentes de la
densité de Q dans R existe-t-il ?



albert

--

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