Algebre linéaire

[Anonyme]

Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions sauf la
derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
(a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
(b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
(i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
(ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
(iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U et U+N
ont le meme polynome caracteristique.
Voila je vous remercie d'avance.
Jaja qui espere une indication: )
Bonne fin de soirée

[Anonyme]

Dans le message news:41df0710$0$19594$636a15ce@news.free.fr,
jaja a écrit:
> Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions
> sauf la derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
> je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
> On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
> (a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
> (b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
> (i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
> (ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
> complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
> (iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U
> et U+N ont le meme polynome caracteristique.
> Voila je vous remercie d'avance.
> Jaja qui espere une indication: )
> Bonne fin de soirée

Bonjour
On étudie donc det(U-aI) et det (U-aI+N), a complexe.
U-aI commute avec N.
a) si a est vp de U (det(U-aI)=0), U-aI n'est pas inversible donc U-aI+N
non plus d'après la question i); donc les deux déterminants sont nuls.
b) si det(U-aI) non nul, U-aI est inversible, donc d'après ii)
det(U-aI+zN) a la même valeur en z=0 et z=1.

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

"bc92" a écrit dans le message de news:
TkNDd.11020$Of5.7592@nntpserver.swip.net...
> Dans le message news:41df0710$0$19594$636a15ce@news.free.fr,
> jaja a écrit:[color=green]
>> Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions
>> sauf la derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
>> je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
>> On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
>> (a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
>> (b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
>> (i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
>> (ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
>> complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
>> (iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U
>> et U+N ont le meme polynome caracteristique.
>> Voila je vous remercie d'avance.
>> Jaja qui espere une indication: )
>> Bonne fin de soirée
>
> Bonjour
> On étudie donc det(U-aI) et det (U-aI+N), a complexe.
> U-aI commute avec N.
> a) si a est vp de U (det(U-aI)=0), U-aI n'est pas inversible donc U-aI+N
> non plus d'après la question i); donc les deux déterminants sont nuls.
> b) si det(U-aI) non nul, U-aI est inversible, donc d'après ii)
> det(U-aI+zN) a la même valeur en z=0 et z=1.
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>[/color]
Pourriez vous me dire comment vous montrez que si A est nilpotente I + A est
inversible ?
merci

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41dfaa6a$0$6405$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "bc92" a écrit dans le message de news:
> TkNDd.11020$Of5.7592@nntpserver.swip.net...[color=green]
>> Dans le message news:41df0710$0$19594$636a15ce@news.free.fr,
>> jaja a écrit:[color=darkred]
>>> Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions
>>> sauf la derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
>>> je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
>>> On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
>>> (a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
>>> (b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
>>> (i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
>>> (ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
>>> complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
>>> (iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U
>>> et U+N ont le meme polynome caracteristique.
>>> Voila je vous remercie d'avance.
>>> Jaja qui espere une indication: )
>>> Bonne fin de soirée
>>
>> Bonjour
>> On étudie donc det(U-aI) et det (U-aI+N), a complexe.
>> U-aI commute avec N.
>> a) si a est vp de U (det(U-aI)=0), U-aI n'est pas inversible donc U-aI+N
>> non plus d'après la question i); donc les deux déterminants sont nuls.
>> b) si det(U-aI) non nul, U-aI est inversible, donc d'après ii)
>> det(U-aI+zN) a la même valeur en z=0 et z=1.
>>
>> --
>> Cordialement,
>> Bruno
>>[/color]
> Pourriez vous me dire comment vous montrez que si A est nilpotente I + A
> est inversible ?
> merci
> >[/color]
mon idée était d'écrire que I = I - (-A)^p = (I + A) sum( C(p,k)(-A)^k pour
k de 0 à p-1)
cela vous semble - t -il juste

[Anonyme]

> > Pourriez vous me dire comment vous montrez que si A est nilpotente I + A[color=green]
> > est inversible ?
> > merci[color=darkred]
> > >[/color]
> mon idée était d'écrire que I = I - (-A)^p = (I + A) sum( C(p,k)(-A)^k[/color]
pour
> k de 0 à p-1)
> cela vous semble - t -il juste

Cette formule est fausse : en dim 1, tu as des nombres complexes et
1-x^p=(1-x)*sum(k=0 à p-1, x^k) (pas de Binôme)
Ainsi, I = I-A)^p = (I-A) sum(k=0 à p-1, A^k) et I-A est inversible
d'inverse sum(k=0 à p-1, A^k)
Pour I+A, remplacer A par -A

********************
http://www.mathematiques.fr.st
*******************

[Anonyme]

Tu ecris (I+A)*(I-A+A^2+-A^3.....) =I

Gauss" a écrit dans le message de news:
41dfaa6a$0$6405$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "bc92" a écrit dans le message de news:
> TkNDd.11020$Of5.7592@nntpserver.swip.net...[color=green]
>> Dans le message news:41df0710$0$19594$636a15ce@news.free.fr,
>> jaja a écrit:[color=darkred]
>>> Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions
>>> sauf la derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
>>> je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
>>> On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
>>> (a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
>>> (b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
>>> (i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
>>> (ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
>>> complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
>>> (iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U
>>> et U+N ont le meme polynome caracteristique.
>>> Voila je vous remercie d'avance.
>>> Jaja qui espere une indication: )
>>> Bonne fin de soirée
>>
>> Bonjour
>> On étudie donc det(U-aI) et det (U-aI+N), a complexe.
>> U-aI commute avec N.
>> a) si a est vp de U (det(U-aI)=0), U-aI n'est pas inversible donc U-aI+N
>> non plus d'après la question i); donc les deux déterminants sont nuls.
>> b) si det(U-aI) non nul, U-aI est inversible, donc d'après ii)
>> det(U-aI+zN) a la même valeur en z=0 et z=1.
>>
>> --
>> Cordialement,
>> Bruno
>>[/color]
> Pourriez vous me dire comment vous montrez que si A est nilpotente I + A
> est inversible ?
> merci
>[/color]

[Anonyme]

OK merci mais ca veut dire que U et U+N ont les memes valeurs propres, mais
est ce que ca veut dire que la multiplicité est la meme.
Merci : )
"bc92" a écrit dans le message de news:
TkNDd.11020$Of5.7592@nntpserver.swip.net...
> Dans le message news:41df0710$0$19594$636a15ce@news.free.fr,
> jaja a écrit:[color=green]
>> Bonjour mon probleme est le suivant : j'ai résolu tout les questions
>> sauf la derniere (b)(iii), je ne vois vraiment pas:
>> je recopie donc tout l'enonce du probleme ca devrait servir
>> On se place dans l'ensemble des matrice carrées de taille n
>> (a) Montrer que si A nilpotente alors I + A est inversible
>> (b) On suppose que N est nilpotente et commutant avec U
>> (i) Montrer l'equivalence: U inversible U+N inversible
>> (ii)Soient A une matrice inversible qui commute avec N et z un nombre
>> complexe quelconque. Montrer que det(A+zN) ne depend pas de z.
>> (iii) (la question qui me pose un probleme) Montrer que les matrice U
>> et U+N ont le meme polynome caracteristique.
>> Voila je vous remercie d'avance.
>> Jaja qui espere une indication: )
>> Bonne fin de soirée
>
> Bonjour
> On étudie donc det(U-aI) et det (U-aI+N), a complexe.
> U-aI commute avec N.
> a) si a est vp de U (det(U-aI)=0), U-aI n'est pas inversible donc U-aI+N
> non plus d'après la question i); donc les deux déterminants sont nuls.
> b) si det(U-aI) non nul, U-aI est inversible, donc d'après ii)
> det(U-aI+zN) a la même valeur en z=0 et z=1.
>
> --
> Cordialement,
> Bruno
>[/color]